Méthode de Householder

Méthode de Householder

En analyse numérique, la méthode de Householder désigne un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2).

L'algorithme est itératif et de convergence cubique ; il se généralise à des fonctions Cn avec une convergence d'ordre n + 1.

Il doit son nom à son inventeur, le mathématicien Alston Scott Householder (en).

Sommaire

Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Householder consiste à itérer :

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\times (1+h_k)

avec

h_k = \frac{f(x_k) f''(x_k)}{2 f'(x_k)^2}

à partir d'une estimation x0 de a.

On retrouve la méthode de Halley en remplaçant (1 + hk) par 1/(1 − hk) pour hk << 1 dans la relation de récurrence ci-dessus.

Généralisation

Les méthodes Householder généralisent la méthode de Newton (cas n = 0) et la méthode de Halley (cas n = 1) dans le cas d'une fonction Cn + 1 :

x_{k+1}=x_k + (n+1)\frac{(1/f)^{(n)}(x_k)}{(1/f)^{(n+1)}(x_k)}

Leur vitesse de convergence est d'ordre n + 2.

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode de Householder de Wikipédia en français (auteurs)

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