Jacques Touchard

Jacques Touchard (1885 – 1968) est un mathématicien français. En 1953, il prouva que tout nombre parfait impair est de la forme 12k + 1 ou 36k + 9. Il a introduit les polynômes de Touchard (en), qui interviennent en combinatoire et en théorie des probabilités. Il est aussi connu pour avoir résolu le problème des ménages.

Identité de Touchard

Les nombres de Catalan^[1]

$C_k={1\over{k+1}}{{2k}\choose {k}},\quad k \ge 0$

sont reliés par l'identité algébrique suivante, attribuée à Touchard^{[réf. nécessaire]} :

$\forall n\in\N,\quad C_{n+1}=\sum_{k \,\le\, n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_k$ .

En utilisant la fonction génératrice de Catalan

$C(t)=\sum_{n\ge0}C_nt^n={{1-\sqrt{1-4t}}\over {2t}}$ ,

on peut prouver par manipulations algébriques de séries génératrices que l'identité de Touchard est équivalente à l'équation fonctionnelle satisfaite par C :

${t \over {1-2t}} C\left({t^2\over (1-2t)^2}\right) = C(t)-1$ .

Note et références

1. ↑ Les exercices 6.19 à 6.50 de (en) Richard P. Stanley (en), Enumerative combinatorics, vol. 2, Cambridge, Cambridge University Press, 2001, 1^re éd., poche (ISBN 978-0-521-78987-5) (LCCN 96044267)  donnent de nombreuses définitions des nombres de Catalan.

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