Lemme de Siegel

En mathématiques, le lemme de Siegel (1929) affirme l'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système linéaire homogène à coefficients entiers.

L'exemple le plus simple est sans doute le suivant :

Soit A = (a_i,j) une matrice à n lignes et m colonnes, dont les coefficients sont des entiers (relatifs) de valeur absolue plus petite que M. Si n > m alors le système linéaire

$\sum a_{i,j} x_i = 0$

admet une solution $(x_1,..., x_n) \in \mathbb Z^n -\{0\}$ telle que

$\max_i |x_i| < (nM)^{\frac{m}{n-m} }+1$.

Sa démonstration se fonde sur le principe des tiroirs de Dirichlet. Il est d'usage courant dans les preuves de transcendance.