Matrices anticirculantes

En mathématiques, les matrices anticirculantes sont un cas particulier de matrices de Hankel ou de Toeplitz. Toutefois, le mot peut désigner plusieurs types de matrices

Anticirculantes standard

Forme générale

Une matrice anticirculante standard de taille n à coefficients complexes est de la forme^[1]

$C= \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & \dots & \ldots & c_{n-1} \\ c_1 & & & c_{n-2}&c_{n-1} & c_0 \\ c_2 & & c_{n-2} & c_{n-1} & c_0 &c_1 \\ \dots & & & \dots & \dots \\ \dots & & & \dots & \dots \\ \dots & & & \dots & \dots \\ c_{n-1}&c_0 & c_1 & c_2 & \dots & c_{n-2} \end{pmatrix}$

où les coefficients c_i sont des complexes. la valeur des coefficients demeure constante sur les diagonales secondaires de la matrice et leur somme en ligne, comme celle en colonne demeure constante^[2].

Anticirculantes de Hankel

Une autre définition donne les matrices anticirculantes de Hankel (g-circulant ou H-skew-circulant) en opposition aux matrices circulantes de Hankel (ou f-circulant), comme les matrices de Hankel 'antisymétrique' par rapport à la seconde diagonale de la matrice.

Elles sont de la forme :

$C= \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & \dots & \ldots & 0 \\ c_1 & & & c_{n-2}&0 & -c_{n-2} \\ c_2 & & c_{n-2} & 0 & -c_{n-2} &-c_{n-3} \\ \dots & & & \dots & \dots \\ \dots & & & \dots & \dots \\ \dots & & & \dots & & -c_1 \\ 0&-c_{n-2} & -c_{n-3} & \dots & -c_1 & -c_{0} \end{pmatrix}$

On montre que toute matrice de Hankel est somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante^[3].

Anticirculante de Toeplitz

On appelle parfois matrice anticirculante de Toeplitz, les matrices de la forme^[4]

$C= \begin{pmatrix} c_0 & -c_1 & -c_2 & \dots & -c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_0 & -c_1 & & -c_{n-2} \\ c_{n-2} & c_{n-1} & c_0 & & -c_{n-3} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ c_1 & c_2 & c_3 & \dots & c_0 \end{pmatrix}$

Elles sont également appelées matrices circulantes gauche (skew en anglais) et rentrent dans la décompositon des matrices de Toeplitz^[5].

Quelques propriétés des anticirculantes de type standard

Elles forment un sous espace vectoriel de l'espace des carrés magiques.

Elles ne forment pas une sous-algèbre de l'algèbre des matrices carrées de taille n.

Elles sont diagonalisables dans $\C$ (voir matrice de Hankel).

Cas particulier de la dimension 3

On montre que tout carré magique s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante.

Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.

Notes et références

1. ↑ Ivan Oseledets  ; Karatsuba-like formulae for certain bilinear forms in GF(2), page 17
2. ↑ (es) CIRCULANTES MATRICIALES :sur le site Mathématiques et poésie
3. ↑ Vadim Olshevsky: Structured matrices in mathematics, computer science, and engineering
4. ↑ voir Dario Bini,Victor Pan : Polynomial and matrix computations, Volume 1
5. ↑ Raymond Chang, Michael K. Ng :Conjugate Gradient Methods for Toeplitz Systems

Sources

Dario Bini, Victor Pan : Polynomial and matrix computations, Volume 1

Liens externes

• (en) Ivan Oseledets, Karatsuba-like formulae for certain bilinear forms in GF(2)