Mise en équation

La mise en équation désigne l'action de convertir une interrogation comportant quelques aspects quantitatifs en termes mathématiques en une réponse mathématiquement pertinente. Le résultat de la mise en équation est une équation ou un modèle mathématique.

En France, l'initiation à la mise en équation est abordée en classe de Troisième des collèges (Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation ou un système de deux équations du premier degré) et de seconde des lycées (Mise en équations ; résolution algébrique, résolution graphique d’équations et d’inéquations).

Les étapes de la mise en équation

La première étape est hors domaine mathématique. Elle est constituée d’une réflexion, relative à une situation ou à un système observé, traduite en questions.

La deuxième étape est pseudo-concrète. Elle consiste à réduire le problème aux facteurs déterminants de préférence susceptibles de quantification.

La troisième étape est purement mathématique. Elle formule la question en problème à l’aide de variables et de relations mathématiques dont le traitement peut déboucher sur une réponse ou un élément de réponse à confronter à la situation ou à l'observation initiale.

Avantages de la démarche

Le principal avantage de la démarche, lorsqu’elle est aboutie, est de disposer d’un outil à même de générer, de manière reproductible, des réponses relatives à l’interrogation originelle sans avoir à reproduire le cheminement d’idées ayant servi à le construire ; si tant est que l’on soit resté dans la même condition d’observation de la situation ou du système ayant déclenché la dite interrogation.

Un autre avantage réside dans la façon d’aborder la deuxième étape définie ci-dessus. Elle présuppose d’opter pour un cheminement global d’idées, de considérer le problème dans son ensemble, en vue d’élaborer l’outil sans se laisser absorber par la spécificité de la situation ou du système observé. Ici, l’avantage est plutôt le fait d’acquérir la faculté d’être en mesure de développer cette aptitude plutôt que de trouver à tout prix une réponse spécifique directe.

Illustration

Illustration de ce cheminement particulier d’idée à l’aide d’un simple problème d'arithmétique :

L’observation de la situation amène à l’énoncé suivant : Un mélange, dont on connait la masse, est composé de deux constituants. Le prix de cette masse de mélange est connu ainsi que le prix unitaire de chacun des constituants.

L'interrogation : quelle est la masse de chaque constituant composant le mélange ?

Le contre exemple : Résoudre le problème en se laissant absorber par sa spécificité. Ce qui pourrait se traduire par le cheminement d’idées suivant :

• Raisonnement par l'absurde : Si cette masse de mélange n'était composée que d’un seul constituant, quelqu'il soit, son prix serait égal au prix unitaire du constituant multipliée par la masse de mélange,
• Comme ce n'est pas le cas, on constate une différence de prix,
• On constate aussi une différence entre les prix unitaires de chaque constituant,
• En divisant le résultat de la différence de prix du mélange avec la différence de prix des constituants on trouvera la quantité de l'autre constituant,
• En confrontant le résultat avec la situation observée on déterminera aisément la masse de chacun des constituants entrant dans la composition du mélange...

L'exemple : Réduire le problème aux facteurs déterminants . Ce qui pourrait se traduire par le cheminement suivant :

• Soit les variables « x » et « y » représentant les quantités spécifiques, exprimées en unité de masse, de chacun des constituants,
• Soit les valeurs « P_x » et « P_y » représentant les prix unitaires respectivement des constituants « x » et « y » :
• la somme x + y exprime la masse du mélange,
• la somme des produits xP_x + yP_y exprime le prix de la masse du mélange.

On aboutit donc à un système de deux équations à deux inconnues que l'on peut traiter mathématiquement.

Voir aussi

• Modèle
• Equation