Module de continuité

En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction $\scriptstyle\omega:[0,\infty]\to[0,\infty]$ utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction $\scriptstyle f:I\to\R$ admet ω pour module de continuité si et seulement si

$|f(x)-f(y)|\leq\omega(|x-y|),$

pour tout x et y dans le domaine de f. Puisque les modules de continuité sont infinitésimaux en 0, une fonction est absolument continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité. Le module $\scriptstyle\omega(t):=kt$ correspond aux fonctions k-lipschitziennes et le module $\scriptstyle \omega(t):=kt^\alpha$ aux fonctions höldériennes. En général, le rôle de $\scriptstyle\omega$ est de fixer une dépendance fonctionnelle explicite de $\scriptstyle \delta$ en $\scriptstyle\epsilon$ dans la définition de l'uniforme continuité.

Un cas particulier est celui des modules de continuité concaves. Pour une fonction entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un module de continuité que d'avoir la propriété de concavité, de sub-additivité, d'uniforme continuité ou de sub-linéarité (au sens de croissance linéaire). L'existence de tels modules de continuité pour une fonction uniformément continue est assurée dès que son domaine est soit compact, soit un sous-ensemble convexe d'un espace normé.

Une fonction uniformément continue sur un espace métrique admet un module de continuité concave si et seulement si les ratios $\scriptstyle d_Y\left(f(x),f(x')\right)/d_X(x,x')$ sont uniformément bornés pour toute paire (x,x') proche de la diagonale de X. Les fonctions avec la propriété précédente constituent une sous-classe des fonctions uniformément continues, nous les appellerons fonctions spéciales uniformément continues.

Historique

Steffens (2006), p. 160 attribue la première utilisation de ω pour le module de continuité à Lebesgue (1909), p. 309/p. 75 où ω est alors l'oscillation de la transformée de Fourier. De La Vallée Poussin (1919), p. 7-8 mentionne les deux noms (1) "module de continuité " et (2) "module d'oscillation" et conclut " mais nous choisirons (1) pour montrer l'usage que nous en ferons".

Définition formelle

Formellement, un module de continuité est une fonction à valeurs réelles (étendues) $\scriptstyle \omega:[0,\infty]\to[0,\infty],$ s'annulant en 0 et continue en 0, telle que

$\lim_{t\to0}\omega(t)=\omega(0)=0.$

Les modules de continuité sont principalement utilisés pour donner une valeur quantitative de la continuité en un point et à l'uniforme continuité pour les fonctions entre espaces métriques en utilisant les définitions suivantes.

Une fonction $\scriptstyle f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$ admet $\scriptstyle\omega$ pour module de continuité (local) au point $\scriptstyle x\in X$ si et seulement si

$d_Y(f(x),f(x'))\leq\omega(d_X(x,x'))\quad\forall x'\in X.$

De même, f admet $\scriptstyle\omega$ pour module de continuité (global) si et seulement si

$d_Y(f(x),f(x'))\leq\omega(d_X(x,x')),\quad\forall x\in X,\quad\forall x'\in X.$

De manière équivalente, $\scriptstyle\omega$ est un module de continuité (resp., en x) pour f, ou plus simplement, f est ω-continue (resp. en x).

Faits élémentaires

• Si f admet ω pour module de contiuité et $\omega_1\geq\omega$, alors f admet également ω₁ comme module de continuité.
• Si $\scriptstyle f:X\to Y$ et $\scriptstyle g:Y\to Z$ sont des fonctions entre espaces métriques avec pour modules de continuité respectifs $\scriptstyle \omega_1$ et $\scriptstyle \omega_2$, alors la composition $\scriptstyle g\circ f:X\to Z$ a pour module de continuité $\scriptstyle \omega_2\circ\omega_1$.
• Si f et g sont des fonctions d'un espace métrique X vers un espace de Banach Y, avec pour modules de continuité respectifs $\scriptstyle \omega_1$ et $\scriptstyle \omega_2$, alors toute combinaison linéaire af + bg a pour module de continuité $\scriptstyle |a|\omega_1+|b|\omega_2$. En particulier, l'ensemble des fonctions de X dans Y qui ont ω pour module de continuité est un sous-ensemble convexe de l'espace vectoriel $\scriptstyle \mathcal C(X,Y)$ fermé par la convergence simple.
• Si f et g sont des fonctions bornées à valeurs réelles sur un espace métrique X, avec pour modules de continuité respectifs $\scriptstyle \omega_1$ et $\scriptstyle \omega_2$, alors le produit fg a pour module de continuité $\scriptstyle \|g\|_\infty\omega_1+\|f\|_\infty \omega_2$.
• Si $\scriptstyle \{f_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ est une famille de fonctions à valeurs réelles sur un espace métrique X avec pour module de continuité commun ω, alors l'enveloppe inférieure $\scriptstyle \inf_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda$ et l'enveloppe supérieure $\scriptstyle \sup_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda$, sont des fonctions à valeurs réelles avec pour module de continuité ω.

Remarques

• Certains auteurs demandent des propriétés supplémentaires, par exemple ω est croissante ou continue. Si f admet un module de continuité au sens de la définition faible précédente, elle admet un module de continuité qui est croissant et infiniment dérivable sur $\scriptstyle [0,\infty]$. On obtient alors que

$\omega_1(t):=\sup_{s\leq t}\omega(s)$ est croissante, et $\omega_1\geq \omega$;

$\omega_2(t):=\frac{1}{t}\int_t^{2t}\omega_1(s)ds$ est également continue, et $\omega_2\geq \omega_1$,

de plus, une (petite) variante de la définition de ω₂ la rend infiniment dérivable sur $]0,\infty[$.

• Toute fonction f uniformément continue admet un module de continuité minimal $\scriptstyle \omega_f$, qui est appelé le module de continuité (optimal) pour f :

$\omega_f(t):=\sup\{ d_Y(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_X(x,x')=t \} ,\quad\forall t\geq0.$

De même, toute fonction continue en un point x admet un module de continuité minimal en x, ω_f(t;x) (le module de continuité (optimal) de f en x) :

$\omega_f(t;x):=\sup\{ d_Y(f(x),f(x')): x'\in X,d_X(x,x')= t \},\quad\forall t\geq0.$

Dans la plupart des cas, le module de continuité optimal de f ne peut pas être calculé de manière explicite, mais uniquement majoré (par tout module de continuité de f). De plus, les propriétés principales des modules de continuité concernent directement la définition non-restrictive.

• En général, le module de continuité d'une fonction uniformément continue sur un espace métrique peut prendre la valeur $+\infty$. La fonction $\scriptstyle f:\N\to\N$ telle que $\scriptstyle f(n):=n^2$ est uniformément continue par rapport à la distance (discrète) sur $\scriptstyle \N$, et le module de continuité minimal est $\scriptstyle \omega_f(t)=+\infty$ pour tout entier naturel t, et ω_f(t) = 0 sinon.

Modules de continuité spéciaux

Les modules de continuité spéciaux donnent également certaines propriétés globales des fonctions telles que l'extension et l'approximation. Dans cette section, nous nous intéresserons principalement aux modules de continuité concaves, sous-additifs (en), uniformément continus, ou sous-linéaires. Ces propriétés sont essentiellement équivalente au fait que, pour un module $\scriptstyle \omega:[0,\infty]\to[0,\infty]$, chaque assertion implique la suivante :

• ω est concave;
• ω est subadditif;
• ω est uniformément continu;
• ω est sous-linéaire, c'est-à-dire, il existe des constantes a et b telles que $\scriptstyle \omega(t)\leq at+b$ pour tout t;
• ω est majoré par un module de concave, c'est-à-dire, il existe un module de continuité concave $\scriptstyle \tilde\omega$ tel que $\scriptstyle\omega(t)\leq\tilde\omega(t)$ pour tout t.

Ainsi, pour une fonction f entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un module de continuité qui est soit concave, subadditif, uniformément continu ou sous-linéaire. Dans ce cas, la fonction f est parfois appelée fonction spéciale uniformément continue. Ceci est toujours vrai dans le cas où le domaine est compact ou convexe. Une fonction uniformément continue $\scriptstyle f:C\to Y$ définie sur un sous-ensemble convexe C d'un espace normé E admet toujours un module de continuité sous-additif (en). Il est immédiat de vérifier que le module de continuité optimal ω_f défini précédemment est sous-additif si le domaine de f : on a, pour tout s et t:

ω_f(s + t) = sup  _{| x − x' | = t + s}d_Y(f(x),f(x')

$\leq \sup_{|x-x'|=t+s}\left\{d_Y\Big( f(x), f\big(x +t\frac{x-x'}{|x-x'|}\big)\Big) + d_Y\Big( f\big(x +t\frac{x-x'}{|x-x'|}\big), f(x')\Big)\right\}\leq \omega_f(t)+\omega_f(s) .$

Modules sous-linéaires et perturbations bornés d'une fonction lipschitzienne

Un module de continuité sous-linéaire peut être facilement trouvé pour une fonction qui est une perturbation bornée d'une fonction lipschitzienne : si f est une fonction uniformément continue avec ω pour module de continuité et g est une fonction k-lipschitzienne d'une distance (uniforme) r de f, alors f admet un module de continuité sous-linéaire $\scriptstyle\min\{\omega(t), 2r+kt\}$. Inversement pour les fonctions à valeurs réelles, toute perturbation bornée et uniformément continue d'une fonction lipschitzienne est une fonction spéciale uniformément continue. En conséquence immédiate, toute fonction uniformément continue sur un sous-ensemble convexe d'un espace normé a une croissance sous-linéaire : il existe des constantes a et b tels que $\scriptstyle |f(x)|\leq a\|x\|+b$ pour tout x.

Modules sous-additifs et extensions

La propriété ci-dessus pour les fonctions uniformément continues sur un domaine convexe admet une sorte d'inverse, au moins dans le cas des fonction à valeurs réelles : toute fonction spéciale uniformément continue à valeurs réelles $\scriptstyle f:X\to\R$ définie sur un sous-ensemble X d'un espace normé E admet une extension sur E qui préserve le module sous-additif ω de f. Ces extensions sont :

$f_*(x):=\sup_{y\in X}\left\{f(y)-\omega(|x-y|)\right\},$

$f^*(x):=\inf_{y\in X}\left\{f(y)+\omega(|x-y|)\right\}.$

Comme notifié, tout module de continuité sous-additif est uniformément continue : en fait, il admet lui-même pour module de continuité. De plus, $\textstyle f_{*}$ et $\textstyle f^*$,respectivement les enveloppes inférieures et supérieures d'une famille ω-continue, sont encore ω-continues.

Modules concaves et approximation lipschitzienne

Toute fonction spéciale uniformément continue à valeurs réelles $\scriptstyle f:X\to\R$ définie sur un espace métrique X est une uniforme approximation de fonctions lipschitziennes. De plus, la vitesse de convergence, en termes de constante lipschitzienne, de l'approximation est déterminé par le module de continuité de f. Plus précisément, soit ω le module de convergence concave minimal de f, donné par

$\omega(t)=\inf\big\{at+b\, :\, \forall x\in X,\, \forall x'\in X\,\, |f(x)-f(x')|\leq a|x-x'|+b\big\}.$

Soit δ(s) la distance uniforme entre la fonction f et l'ensemble Lip_s des fonctions lipschitziennes à valeurs réelles sur C qui ont s pour constante de lipschitz :

$\delta(s):=\inf\big\{\|f-u\|_{\infty,X}\,:\, u\in \mathrm{Lip}_s\big\}\leq+\infty.$

Alors, les fonctions ω(t) et δ(s) peuvent être réliées entre elles via la transformation de Legendre : plus précisément, les fonctions 2δ(s) et − ω( − t) (convenablement étendues en $+\infty$ hhors de leur domaine) sont une paire de fonctions convexes conjuguées, pour

$2\delta(s)=\sup_{t\geq0}\left\{\omega(t)-st\right\},$

$\; \omega(t)=\inf_{s\geq0}\left\{2\delta(s)+st\right\}.$

Puisque ω(t) = o(1) pour $\scriptstyle t\to0^+$, on obtient δ(s) = o(1) pour $\scriptstyle s\to+\infty$, ce qui signifie que f est uniformément approchée par des fonctions lipschitziennes. Une optimale approximation est donnée par les fonctions

$f_s:=\delta(s)+\inf_{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\ \ \mathrm{pour} \ s\in\mathrm{dom}(\delta):$

chaque fonction f_s a s pour constante de liptschitz et $\scriptstyle \|f-f_s\|_{\infty,X}=\delta(s)$. Par exemple, les fonctions α − höldériennes à valeurs réelles sur un espace métrique sont caractérisées par les fonctions qui peuvent être uniformément approchées par des fonctions s − lipschitziennes avec une vitesse de convergence $\scriptstyle O(s^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}})$, alors que les fonctions "almost Lipschitz" (avec pour module de continuité $\scriptstyle \omega(t):=kt\,(|\log(t)|+1)$) sont généralement caractérisées par une vitesse de convergence exponentielle $\scriptstyle O(e^{-as})$.

Exemples d'utilisation

• Soit $\scriptstyle f:[a,b]\to\R$ une fonction continue. Dans la démonstration de l'intégrabilité de Riemann de f, on borne généralement la distance entre les sommes de Riemann supérieures et inférieures par rapport à la partition de Riemann $P:=\{t_i\}_{0\leq i \leq n}$ en utilisant le module de continuité de f et le module de la partition P:

$S^*(f;P)-S_*(f;P)\leq(b-a)\omega(|P|).$

• Pour un exemple d'utilisation pour les séries de Fourier, voir le test de Dini (en).

Le groupe de translation des fonctions L^p et le module de continuité L^p

Soient $1\leq p$, $f:\R^n\to\R$ une fonction de classe L^p et $h\in\R^n$. La h-translation de f, c'est-à-dire la fonction $\tau_h\ f:=f(\cdot-h)$ est de classe L^p ; de plus, si if $\scriptstyle 1\leq p<\infty$, alors $\|\tau_h f - f\|_p=o(1),$ quand $\|h\|\to 0.$ Ainsi, puisque les translations sont des isométries linéaires, $\|\tau_{v+h} f - \tau_v f\|_p=o(1),\$ quand $\|h\|\to 0,$ uniformément en $v\in\R^n$.

Dans le cas où $p=\infty$, la propriété ci-dessus n'est pas vrai en général : en fait cela revient à être uniformément continu. Ceci est dû à la définition suivante qui généralise la notion de module de continuité des fonctions uniformément continues : un module de continuité L^p pour une fonction mesurable $f:\R\to\R$ est un module de continuité $\omega:[0,\,\infty]\to[0,\,\infty]$ tel que $\|\tau_h f - f\|_p\leq \omega(h).$ Les modules de continuité donnent alors une valeur quantitative à la propriété de continuité des fonctions L^p

Module de continuité d'ordre plus élevés

La définition formelle du module de continuité utilise la notion de différence finie du premier ordre :

$\omega_f(\delta)=\omega(f, \delta)=\sup\limits_{x; |h|<\delta;}\left|\Delta_h(f,x)\right|.$

Si on remplace cette différence par une différence d'ordre n, on obtient un module de continuité d'ordre n :

$\omega_n(f, \delta)=\sup\limits_{x; |h|<\delta;}\left|\Delta^n_h(f,x)\right|.$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Modulus of continuity » (voir la liste des auteurs)
• G. Choquet, Cours d'analyse. Tome II, Topologie, Masson et C^ie, Paris, 1964.
• Ch. de la Vallée Poussin, Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle, Paris, Gauthier-Villars, 1919 (réimpr. 1952) [lire en ligne] .
• H. Lebesgue, « Sur les intégrales singulières », dans Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 3^e série, vol. 1, 1909, p. 25-117 , impression de : Henri Lebesgue, Œuvres scientifiques, Vol. 3., p. 259-351.
• (en) K.-G. Steffens, The history of approximation theory, Boston, Birkhäuser, 2006 .
• (en) A. V. Efimov, « Modulus of continuity », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2001 (ISBN 978-155608010-4) [lire en ligne] 

Voir également

• Analyse constructive
• Module càdlàg
• Inégalité de Jackson (en)