Modélisation des turbulences

La modélisation de la turbulence (et non "des turbulences") est une branche de la dynamique des fluides consistant, pour la simulation numérique des écoulements turbulents, à représenter l'influence de la turbulence sur l'écoulement moyen (approches statistiques) ou des échelles non-résolues sur les échelles résolues (approches filtrées). En effet, même si l'écoulement d'un fluide (newtonien) est régi par des équations connues, les Équations de Navier-Stokes, dans l'approximation des milieux continus, ces équations n'ont pas de solution analytique, sauf cas très particuliers, et leur résolution numérique (simulation directe) est à l'heure actuelle limitée à certaines configurations académiques, la puissance des ordinateurs étant très insuffisante, et le restera pour encore de nombreuses décennies.

Joseph Boussinesq est le premier à avoir proposé un modèle de turbulence, en 1877. Il a introduit le concept de Viscosité turbulente. En 1945, Ludwig Prandtl introduisit le concept de longueur de mélange, permettant de relier la viscosité turbulente aux gradients de vitesse moyenne, qui s'exprime, dans le cas simplifié d'un écoulement dit de couche mince, par:

$\nu_t = l^2 \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right|$

où:

$\frac{\partial U}{\partial y}$ est le cisaillement moyen, c'est-à-dire la dérivée (dans la direction normale à l'écoulement) de la vitesse moyenne ;

l est la longueur de mélange.

Par exemple, pour un écoulement le long d'une paroi (couche limite), la longueur de mélange et la viscosité turbulente varient avec la distance à la paroi.

De nombreux modèles, beaucoup plus complexes, ont été proposés depuis (à compléter). Ils sont la base de la mécanique des fluides numérique (MFN, ou CFD pour Computational Fluid Dynamics) largement utilisée aujourd'hui en ingénierie^[1].

Joseph Smagorinsky (1964) généralisa le concept de viscosité turbulente à l'approche filtrée de la turbulente, la simulation des grandes échelles (SGE, ou LES pour Large Eddy Simulation), pour représenter l'influence des échelles turbulentes non-résolues (échelles de sous-filtre ou de sous-maille) sur les échelles résolues. Il s'agit alors d'une viscosité de sous-maille, écrite sous la forme :

$\nu_t= (C_s \Delta_c)^2 \sqrt{2 \bar S_{ij} \bar S_{ij}}$

La simulation des grandes échelles repose en général (mais pas toujours) sur les équations de Navier-Stokes filtrées spatialement^{[2],[3], [4]}.

Références

1. ↑ (fr)Modélisation de la turbulence: un défi industriel par Alexis Scotto d'Apollonia (PSA Peugeot Citroën).
2. ↑ (en)[PDF]The basic equation for the large Eddy simulation of turbulent flows in complex geometry par Ghosal et Moin. sur www.mech.northwestern.edu. Consulté le 17 mai 2010.
3. ↑ (en)Large eddy simulation for incompressible flows : an introduction par Pierre Sagaut. sur Books google. Consulté le 17 mai 2010.
4. ↑ (en)[PDF]An Analysis of Numerical Errors in Large-Eddy Simulations of Turbulence. sur www.mech.northwestern.edu. Consulté le 17 mai 2010.

• (en)Townsend, A.A. (1980) "The Structure of Turbulent Shear Flow" 2nd Edition (Cambridge Monographs on Mechanics)
• (en)Bradshaw, P. (1971) "An introduction to turbulence and its measurement" (Pergamon Press)
• (en)Wilcox C. D., (1998), "Turbulence Modeling for CFD" 2nd Ed., (DWC Industries, La Cañada)
• (en)[PDF]Absi, R. (2006), "Discussion of One-Dimensional Wave Bottom Boundary Layer Model Comparison: Specific Eddy Viscosity and Turbulence Closure Models" Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, American Society of Civil Engineers (ASCE), Vol. 132, No. 2, pp. 139-141.
• (en)Absi, R. (2006), "A Roughness and time dependent mixing length equation", Journal of Hydraulic, Coastal and Environmental Engineering, (Doboku Gakkai Ronbunshuu B), Japan Society of Civil Engineers (JSCE), Vol. 62, No. 4, pp.437-446.
• (fr)[PDF]De la turbulence universelle aux modèles de fermeture par Emmanuel Lévêque.
• (fr)[PDF]Modélisation des phénomènes de turbulence dans les milieux participants par l'équipe de Synthèse d'Images de l'université de Toulouse.
• (fr)[PDF]Simulation Numérique De La Turbulence sur CNRS.
• (en)[PDF]Site dmf.ensica.fr
• (en)Qu’est-ce que la turbulence ?
• (en)[PDF]Rétro-propagation en air clair.
• (en)Modélisation physique des interactions entre interfaces et turbulence.
• (en)[PDF]Évolution des performances des supercalculateurs.