Morphisme plat

En géométrie algébrique, un morphisme de schémas $f : X\to Y$ peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille.

Définition

Un morphisme $f : X\to Y$ est dit plat en un point x de X si l'homomorphisme d'anneaux

$f_x^{\#} : \mathcal O_{Y, f(x)} \to \mathcal O_{X, x}$

induit par f est plat. On dit que f est un morphisme plat s'il est plat en tout point de X. On dit que f est fidèlement plat s'il est de plus surjectif.

Si $\mathcal F$ est un faisceau quasi-cohérent sur X. On dit que $\mathcal F$ est plat au-dessus de Y si pour tout x dans X, $\mathcal F_x$, muni de la structure de $\mathcal O_{Y, f(x)}$-module induite par $f_x^{\#}$, est plat.

Exemples

• Si Y est le spectre d'un corps, alors tout morphisme de X vers Y est plat.

• Si Y est le spectre d'un anneau de Dedekind, et si X est intègre, alors f est plat si et seulement si f n'est pas constant.

• L'espace affine $\mathbb A^n_Y$ au-dessus de Y est plat car son faisceau d'algèbres $\mathcal O_Y [T_1,\dots, T_n]$ est libre sur $\mathcal O_Y$.

• La projection de la deuxième des axes Spec(k[x,y] / (xy)) sur l'un des axes n'est pas un morphisme plat.

Propriétés générales

• Les immersions ouvertes sont des morphismes plats.

• La platitude est stable par produit: si X, Z sont plats sur Y, alors $X\times_Y Z$ aussi.

• La platitude est stable par composition et changement de base (si $X\to Y$ est plat, alors $X\times_Y Y' \to Y'$ aussi pour tout $Y'\to Y$).

Propriétés topologiques

• Supposons $f : X\to Y$ plat et localement de présentation finie.

• L'application f est ouverte (et même universellement ouverte : pour tout $Y'\to Y$, $X\times_Y Y' \to Y'$ est ouvert).
• Supposons de plus X, Y noethériens et irréductibles. Alors l'application $y \mapsto \dim X_y$ est constante sur f(X).

• Si f est propre et si $\mathcal F$ est cohérent sur X, plat sur Y, alors la caractéristique d'Euler-Poincaré

$\chi_y(\mathcal F \otimes k(y))=\sum_{i\ge 0} \dim_{k(y)} H^i(X_y, \mathcal F\otimes k(y)), \quad y\in Y,$

est localement constante sur f(X). En particulier, si f est plat et si Y est connexe, alors f est surjectif et le genre arithmétique des fibres est constant.

• Les schémas de Hilbert paramètrent des familles plates de sous-schémas fermés d'un espace projectif $\mathbb P^n_Y$ donné et de polynôme de Hilbert-Samuel donné. Chacune de ces familles induit un morphisme (donc application continue en particulier) de Y vers le schéma de Hilbert. C'est un exemple de continuité à valeurs non-discrèt.

Voir aussi

Modules plats.

Références

Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Publ. Math. IHÉS 1960 - 1967.