Nombre de Münchhausen

Pour les articles homonymes, voir Münchhausen.

On appelle en anglais « perfect digit-to-digit invariant » (PDDI)^[1], relativement à une base de numération donnée b, un entier naturel qui est égal à la somme de ses chiffres dans cette base b, chacun élevé à la puissance de ce même chiffre (en convenant ici que 0⁰ = 0).

$n = d_kb^k+d_{k-1}b^{k-1}+\ldots+d_1b+d_0 = d_k^{d_k} + d_{k-1}^{d_{k-1}} + \dots + d_1^{d_1} + d_0^{d_0}~.$

Un calcul élémentaire^[2] prouve que n est majoré par 2b^b ; dans une base donnée, il n'existe donc qu'un nombre fini de perfect digit-to-digit invariants, dont on peut programmer le calcul.

Zéro et un sont des perfect digit-to-digit invariants dans toutes les bases.

En base dix, les deux seuls autres perfect digit-to-digit invariants^[3] sont 3 435 et 438 579 088 :

• 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435
• 4⁴ + 3³ + 8⁸ + 5⁵ + 7⁷ + 9⁹ + 0⁰ + 8⁸ + 8⁸ = 256 + 27 + 16777216 + 3125 + 823543 + 387420489 + 0 + 16777216 + 16777216 = 438579088

Dans une prépublication de style récréatif^[4], Daan van Berkel^[2] a appelé « nombres de Münchhausen » (Munchausen numbers^[5]) des nombres définis comme les perfect digit-to-digit invariants^[6], mais avec la convention 0⁰ =1. Avec cette convention, les deux seuls nombres de Münchhausen en base 10 sont 1 et 3435.

La dénomination « nombres de Münchhausen » a été choisie en référence au baron du même nom, leur propriété étant une variante de celle des nombres narcissiques, à l'instar du caractère du baron^[2].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perfect digit-to-digit invariant » (voir la liste des auteurs)

1. ↑ Pour la terminologie, voir une page du mathématicien amateur Harvey Heinz, qui renvoie à David Wells, Curious and Interesting Numbers, p.190, et à D. Morrow, dans Journal of Recreational Mathematics 27:1, 1995, p. 9 et 27:3, 1995, pp. 205-207. Ces nombres sont décrits, mais non nommés, sur The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, avec références à J. S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, Dover N.Y., pp. 163-175 ; C. A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley 1995, ch. 22, pp. 169-171; David Wells, Curious and Interesting Numbers, Penguin, 1988, pp. 169, 190
2. ↑ ^{a, b et c} Daan van Berkel, « On a curious property of 3435 », 2009, Texte en accès libre sur arXiv : 0911.3038.
3. ↑ suite A046253 de l’OEIS
4. ↑ D. van Berkel s'intéresse au nombre 3435 en invoquant le paradoxe des nombres intéressants.
5. ↑ La déformation orthographique de « Münchhausen » en « Munchausen » avec un seul « h » et sans Umlaut est calquée sur celle du film de Terry Gilliam, The Adventures of Baron Munchausen (1988).
6. ↑ suite A166623 de l’OEIS