Nombre premier de Pierpont

Un nombre premier de Pierpont est un nombre premier de la forme

$2^u 3^v + 1\,$

pour u et v deux entiers positifs. Ils sont nommés ainsi d'après le mathématicien James Pierpont.

Il est possible de prouver que si v = 0 et u > 0, alors u doit être une puissance de 2, faisant du nombre un nombre de Fermat. Si v est positif alors u doit être positif, et le nombre de Pierpont est de la forme 6k + 1 (car si u = 0 et v > 0 alors 2^u3^v + 1 est un nombre pair supérieur à 2 et par conséquent composé).

Les premiers nombres de Pierpont sont:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769. suite A005109 de l’OEIS

Distribution des nombres premiers de Pierpont

Distribution des exposants des plus petits nombres de Pierpont

Andrew Gleason (en) a conjecturé qu'il y a une infinité de nombres premiers de Pierpont. Ils ne sont pas particulièrement rares et il y a peu de restristions par rapport à la factorisation algébrique, il n'y a donc pas de conditions comme la primalité de l'exposant dans les nombres premiers de mersenne. Il y a 36 nombres premiers de Pierpont inférieurs à 10⁶, 59 inférieurs à 10⁹, 151 inférieurs 10²⁰, et 789 inférieurs à 10¹⁰⁰; conjecturellement, il y a O(log N) premiers de Pierpont plus petits que N, en comparaison de la conjecture O(log log N) premiers de Mersenne plus petits que N.

Les nombres de Pierpont connus en tant que facteurs de nombres de Fermat

Dans le cadre de la recherche internationale de facteurs de facteurs premiers de nombres de Fermat, des nombres premiers de Pierpont ont été annoncé comme tels. La table suivante^[1] donne des valeurs de m, k, et n tels que :

$k\cdot 2^n + 1\text{ divise }2^{2^m} + 1. \,$

$k\cdot 2^n + 1$ est un premier de Pierpont quand k est une puissance de 3; :$2^{2^m} + 1. \,$ est un nombre de Fermat.

m	k	n	année de découverte	Chercheurs
38	3	41	1903	Cullen, Cunningham & Western
63	9	67	1956	Robinson
207	3	209	1956	Robinson
452	27	455	1956	Robinson
9428	9	9431	1983	Keller
12185	81	12189	1993	Dubner
28281	81	28285	1996	Taura
157167	3	157169	1995	Young
213319	3	213321	1996	Young
303088	3	303093	1998	Young
382447	3	382449	1999	Cosgrave & Gallot
461076	9	461081	2003	Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
672005	27	672007	2005	Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351	3	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782	3	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot

De 2008 à 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 · 2^2478785 + 1^[2], dont la primalité fut prouvée par John B. Cosgrave (en) en 2003 avec un logiciel de Paul Jobling, George Woltman, et Yves Gallot^[3]. En 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 · 2^7033641 + 1^[2], dont la primalité a été prouvée par Michael Herder en 2011.

En mathématiques des origamis, les axiomes de Huzita définissent six des sept types de pliage possibles. Il a été montré que ces pliages sont suffisants pour permettre de former n'importe quel polygone régulier à N côtés, tant que N > 3 et de la forme 2^m3ⁿρ, où ρ est le produit de nombres premiers de Pierpont distincts. C'est la même classe de polygones réguliers que ceux que l'on peut construire au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Les polygones réguliers qui peuvent être construits avec seulement un compas et une règle (Construction à la règle et au compas#Polygones réguliers) correspondent au cas spécial où n = 0 et ρ est le produit de nombres premiers de Fermat distincts, eux-mêmes un sous-ensemble des nombres premiers de Pierpont.

Le plus petit nombre premier qui ne soit pas un nombre premier de Pierpont (ou de Fermat) est 11, donc le hendécagone est le plus petit polygone régulier qui ne peut pas être construit au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Tous les autres n-gones réguliers avec 3≤n≤21 peuvent être construits au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle (si besoin).

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pierpont prime » (voir la liste des auteurs)
• (en) Eric W. Weisstein, « Pierpont Prime », MathWorld

1. ↑ Wilfrid Keller, Fermat factoring status.
2. ↑ ^{a et b} Chris Caldwell, The largest known primes at The Prime Pages.
3. ↑ Proof-code: g245 at The Prime Pages.