P0-matrice

En mathématiques, une P0-matrice est une matrice carrée réelle dont les mineurs principaux sont positifs. Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire. Une notion voisine est celle des P-matrices.

Définition

On note ci-dessous M_I,J la sous-matrice de M formée de ses éléments avec indices de ligne dans I et indices de colonne dans J.

P0-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle $M\in\R^{n\times n}$ est une P0-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

1. tous les mineurs principaux de M sont positifs : pour tout $I\subset\{1,\ldots,n\}$ non vide, $\det M_{I,I}\geqslant 0$,
2. pour tout vecteur $x\in\R^n$ non nul, on peut trouver un indice i tel que $x_i\ne0$ et $x_i(Mx)_i\geqslant 0$,
3. pour toute matrice diagonale définie positive D, M + D est inversible.

On note $\mathbf{P_0}$ l'ensemble des P0-matrices d'ordre quelconque. On appelle P0-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à $\mathbf{P_0}$.

Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966^[1]), qui ont aussi montré l'équivalence entre les définitions 1 et 2. L'expression 3 de la P0-matricité est due à Chen et Harker (1993^[2]).

Propriétés immédiates

De la définition 1, on déduit que

• $M\in\mathbf{P_0}$ si et seulement si $M^{\top\!}\in\mathbf{P_0}$,
• si M est symétrique, alors $M\in\mathbf{P_0}$ si et seulement si M est semi-définie positive,
• $\mathbf{P_0}\cap\R^{n\times n}$ est un fermé de $\R^{n\times n}$,
• si $M+M^{\!\top\!}$ est semi-définie positive, alors $M\in\mathbf{P_0}.$

Complexité

Vérifier qu'une matrice donnée dans $\mathbb{Q}^{n\times n}$ est une P0-matrice est un problème co-NP-complet^[3].

Annexes

Note

1. ↑ (en) M. Fiedler, V. Pták (1966). Some generalizations of positive definiteness and monotonicity. Numerische Mathematik, 9, 163–172. doi
2. ↑ (en) B. Chen, P.T. Harker (1993). A non-interior continuation method for linear complementarity problems. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 14, 1168–1190. doi
3. ↑ (en) P. Tseng (2000). Co-NP-completeness of some matrix classification problems. Mathematical Programming, 88, 183–192.

Articles connexes

• Complémentarité linéaire
• P-matrice

Ouvrages généraux

• (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
• (en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.