Parité de zéro

Zéro objets, divisés en deux groupes égaux.

Zéro est un nombre pair, étant donné qu'il remplit la définition d'un nombre pair : être un multiple de deux. Par conséquent, zéro partage toutes les propriétés qui découlent de cette définition : comme tous les autres nombres pairs, 0 est divisible par 2, 0 est précédé et suivi par des nombres impairs, 0 est la somme d'un entier avec lui-même, et zéro objets peuvent être divisés entre deux groupes égaux. Zéro respecte les lois de somme et de produit de nombres pairs, comme par exemple pair - pair = pair, de sorte que toute autre définition^{[Laquelle ?]} des nombres pairs se doit de considérer zéro comme un nombre pair.^{[interprétation personnelle]} Dans l'ensemble des nombres pairs, zéro joue un rôle central : c'est l'élément neutre du groupe des entiers pairs et c'est le premier élément de la définition par récurrence des nombres pairs.^{[réf. nécessaire]} Tout entier divise 0, dont toutes les puissances de deux ; en ce sens, 0 est le nombre le « plus pair » de tous.

D'un point de vue psychologique, la parité de 0 est moins bien comprise que celle de 2 ou 3. Il a été observé que la plupart des gens mettaient plus de temps à identifier 0 comme un nombre pair que les autres nombres pairs. Les écoliers tout comme les professeurs de l'enseignement primaire pensent parfois à tort que la parité de zéro est ambigüe, ou même que zéro est impair.^{[réf. nécessaire]} Plusieurs chercheurs en enseignement des mathématiques ont écrit que de telles fausses idées répandues constituaient des opportunités pour la recherche^{[citation nécessaire]}. Certaines propositions comme 0 × 2 = 0 peuvent révéler les craintes des élèves à considérer 0 comme un nombre et à l'utiliser en arithmétique. Parler de la parité de zéro en classe peut déclencher de violents débats, les étudiants se confrontant aux principes de base du raisonnement mathématique, comme l'importance de définitions précises. Alors que la compréhension de zéro est déjà un objectif louable pour un écolier, l'évaluation de sa parité peut constituer une première introduction à une idée omniprésente en mathématiques : l'abstraction d'une idée familière pour aller vers quelque chose de moins familier et de parfois inattendu.

Pourquoi zéro est-il pair ?

Il est facile de prouver directement que zéro est pair :

• Un nombre est pair si c'est un multiple entier de 2. Zéro est un multiple entier de 2, car 0 × 2 = 0, donc 0 est pair^[1].

Cette preuve utilise la définition précise de ce qu'est un « nombre pair », mais on peut aussi expliquer le fait que zéro est pair sans une telle définition^[2]. Les explications qui vont suivre justifient ce fait sur des idées plus fondamentales. On peut d'ailleurs ensuite en conclure la définition elle-même ainsi que son applicabilité à zéro.

Explications basiques

La boîte avec 0 objets n'a pas d'objet rouge laissé tout seul^[3].

Une utilisation basique des nombres est le comptage. Étant donné un ensemble d'éléments, on fait appel à un certain nombre pour décrire combien il y a d'éléments dans l'ensemble. Zéro correspond au compte d'un ensemble où il n'y aurait pas d'éléments ; plus formellement, c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide. L'idée de parité est utilisée lorsqu'on fait des sous-groupes de deux éléments. Si les éléments de l'ensemble peuvent être divisés en groupes de deux, sans qu'aucun élément ne reste tout seul, alors le nombre total d'éléments est pair. Si un élément reste tout seul, le nombre d'éléments est impair^[4].

L'ensemble vide contient zéro groupes de deux, aucun objet n'étant laissé tout seul, donc zéro est pair. Bien qu'il soit difficile de s'imaginer zéro groupes de deux, ou de porter attention à l'inexistence d'un élément seul, cette conception de la parité de zéro peut être illustrée en comparant l'ensemble vide avec d'autres ensembles, comme sur le diagramme à droite^[4].

La droite des nombres fournit une autre méthode de description des nombres pairs, que ce soit parmi les nombres positifs, négatifs ou zéro. La répartition des nombres pairs et impairs apparaît clairement lorsqu'on distingue ceux-ci visuellement :

Les nombres pairs et impairs sont alternés. En partant d'un nombre pair quelconque et en allant ensuite à deux rangs à droite ou à gauche du nombre choisi, on obtient un autre nombre pair ; il n'y a alors aucune raison de sauter le nombre zéro^[5].

La parité peut être approchée de manière plus formelle en utilisant l'arithmétique. Tout entier est soit de la forme (2 × ▢) + 0, soit de la forme (2 × ▢) + 1; ; la première forme représentant les nombres pairs et la seconde les nombres impairs. Par exemple, 1 est impair car 1 = (2 × 0) + 1 et 0 est pair car 0 = (2 × 0) + 0.

Définition de la parité

La définition précise de toute notion mathématique comme « pair », défini par « multiple entier de deux » est, dans l'absolu, une convention. Contrairement à « pair », certains termes mathématiques^[6] sont définis de manière à exclure les cas dégénérés et triviaux.

Il est donc théoriquement possible de redéfinir le mot « pair » de façon à ce que zéro ne soit plus un nombre pair.^{[réf. nécessaire]} Cependant, cela rendrait plus difficile l'énoncé de théorèmes concernant les nombres pairs, dont les propriétés arithmétiques des nombres pairs et impairs^[7].

Histoire

Il est difficile d'établir quand, dans l'histoire des mathématiques, la première personne s'est intéressée à la parité de zéro, et il y a peu de documents à ce sujet. Ce qui est certain est que l'idée de nombres pairs et impairs a été introduite avant celle du zéro.^{[réf. nécessaire]} Cette évolution historique est en fait calquée sur le développement progressif des concepts mathématiques chez les enfants^[8]. Les propriétés algébriques de 0, comme par exemple 0 × n = 0, ont été étudiées de façon systématique pour la première fois par les mathématiciens indiens, comme Brahmagupta au VII^e siècle,^{[réf. nécessaire]} ce qui est arrivé assez tard par rapport à l'histoire de la théorie des nombres.^{[réf. nécessaire]}

Les mathématiciens de la Grèce antique considéraient généralement 2 comme le premier nombre pair et 3 comme le premier nombre impair, certains allant même jusqu'à estimer que 2 n'est pas un nombre pair^[9]. Le nombre 1 n'était pas considéré comme un vrai nombre, mais une composante de tous les autres nombres ; en tant que tel, il devait donc être à la fois pair et impair, et donc ni vraiment pair ni vraiment impair. Ce rôle double que jouait le nombre 1 a été source de problèmes métaphysiques ; un historien a affirmé que les Grecs auraient pu éviter ce problème s'ils avaient eu plus de connaissances sur le nombre 0^[10].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Parity of zero » (voir la liste des auteurs), dont les sources étaient :

1. ↑ Penner 1999, p. 34: Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd. Penner utilise le symbole ∃ (il existe), pour sa preuve : "To see that 0 is even, we must prove that ∃k(0 = 2k), and this follows from the equality 0 = 2 · 0."
2. ↑ Ball, Lewis et Thames 2008, p. 15
3. ↑ Lichtenberg 1972, p. 535 Fig. 1
4. ↑ ^{a et b} Lichtenberg 1972, p. 535–536
5. ↑ Lichtenberg 1972, p. 537
6. ↑ Les nombres premiers en sont un exemple célèbre. La définition d'un nombre premier est historiquement passée de « entier positif ayant au plus deux diviseurs » à « entier positif ayant exactement deux diviseurs », avec comme conséquence que 1 n'est dès lors plus considéré comme un nombre premier. De nombreux auteurs soutiennent ce changement en faisant remarquer que la définition moderne est davantage compatible avec les théorèmes qui se rapportent aux nombres premiers. Par exemple, le théorème fondamental de l'arithmétique est plus facile à énoncer lorsque 1 n'est pas considéré comme un nombre premier, cf (en) Timothy Gowers, Mathematics: A Very Short Introduction, Oxford University Press, 2002 (ISBN 978-0-19-285361-5), p. 118  « The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes. »
7. ↑ Partee 1978, p. xxi
8. ↑ Levenson, Tsamir et Tirosh 2007, p. 84
9. ↑ Platon et Allen 1997, p. 262–264
10. ↑ Guthrie 1992, p. 239–242

Sources citées

• (en) Deborah Loewenberg Ball, Jennifer Lewis et Mark Hoover Thames, Making mathematics work in school, vol. M14, 2008 [lire en ligne (page consultée le 4 March 2010)], p. 13–44 and 195–200 
• (en) W. K. C. Guthrie, A History of Greek Philosophy: The Earlier Presocratics and the Pythagoreans, Cambridge, Cambridge UP, 1992 (ISBN 0521294207) 
• (en) Esther Levenson, Pessia Tsamir et Dina Tirosh, Neither even nor odd: Sixth grade students’ dilemmas regarding the parity of zero, vol. 26, 2007, p. 83–95 
• (en) Betty Plunkett Lichtenberg, « Zero is an even number », dans The Arithmetic Teacher, vol. 19, n^o 7, novembre 1972, p. 535–538 
• (en) Barbara Hall Partee, Fundamentals of Mathematics for Linguistics, Dordrecht, D. Reidel, 1978 (ISBN 90-277-0809-6) 
• (en) Robert C. Penner, Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures, River Edje, World Scientific, 1999 (ISBN 981-02-4088-0) 
• (en) Platon et Reginald E. Allen, Plato's Parmenides, Yale University Press, 1997 (ISBN 0300077297) 

Voir aussi

Article connexe

Pont aux ânes

Bibliographie

Bibliographie complémentaire de l'article correspondant de la wikipedia anglophone

• (en) Ian Anderson, A First Course in Discrete Mathematics, London, Springer, 2001 (ISBN 1-85233-236-0) 
• (en) Marlow Anderson et Todd Feil, A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields, London, CRC Press, 2005 (ISBN 1-58488-515-7) 
• (en) Edna Andrews, Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language, Durham, Duke University Press, 1990 (ISBN 0-8223-0959-9) 
• (en) C. L. Arnold, The Number Zero, vol. 68, January 1919 [lire en ligne (page consultée le 2010-04-11)], p. 21–22 
• (en) Hossein Arsham, Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives, January 2002 [lire en ligne (page consultée le 2007-09-24)] 
• (en) Deborah Loewenberg Ball, Implementing the NCTM Standards: Hopes and Hurdles. Issue Paper 92–2, National Center for Research on Teacher Learning, August 1992 [lire en ligne (page consultée le 2007-10-13)], p. 1–25 
• (en) Deborah Loewenberg Ball, With an Eye on the Mathematical Horizon: Dilemmas of Teaching Elementary School Mathematics, vol. 93, March 1993 
• (en) Deborah Loewenberg Ball, Archive of the Third Annual Conference on Sustainability of Systemic Reform, 2003 [lire en ligne (page consultée le 2007-10-01)], « Using Content Knowledge in Teaching: What Do Teachers Have to Do, and Therefore Have to Learn? » 
• (en) Deborah Loewenberg Ball, Heather C. Hill et Hyman Bass, Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide?, Fall 2005, PDF [lire en ligne (page consultée le 2007-09-16)] 
• (en) Edward Joseph Barbeau, Polynomials, Springer, 2003 (ISBN 0387406271) 
• (en) Arthur Baroody et Ronald Coslick, Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8, Lawrence Erlbaum Associates, 1998 (ISBN 0805831053) 
• (en) William P. Berlinghoff, Kerry E. Grant et Dale Skrien, A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts, Rowman & Littlefield, 2001 (ISBN 0-7425-0202-3) 
• (en) Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1985 (ISBN 0521388082) 
• (en) Andrew Brisman, Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways, Sterling, 2004 (ISBN 1402713002) 
• (en) Bryan H. Bunch, Mathematical Fallacies and Paradoxes, Van Nostrand Reinhold, 1982 (ISBN 0-442-24905-5) 
• (en) Alvaro Cencini, Macroeconomic Foundations Of Macroeconomics, London, Routledge, 2003 (ISBN 0-415-31265-5) 
• (en) Stephen Chase, A Treatise on Algebra, G. S. Appleton, 1849 [lire en ligne (page consultée le 2007-10-01)] 
• (en) Column 8 readers, Column 8, 2006a, p. 18 
• (en) Column 8 readers, Column 8, 2006b, p. 20 
• (en) Bunny Crumpacker, Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count, Macmillan, 2007 (ISBN 0312360053) 
• (en) Thomas J. Cutler, The Bluejacket's Manual: United States Navy, Naval Institute Press, 2008 (ISBN 1557502218) 
• (en) Stanislas Dehaene, Serge Bossini et Pascal Giraux, The mental representation of parity and numerical magnitude, vol. 122, 1993, PDF [lire en ligne (page consultée le 2007-09-13)], p. 371–396 
• (en) Keith Devlin, The golden age of mathematics, vol. 106, April 1985 
• (en) Diagram Group, The Official World Encyclopedia of Sports and Games, Paddington Press, 1983 (ISBN 0448222027) 
• (en) David Dickerson, Aspects of preservice teachers' understandings of the purposes of mathematical proof, Mérida, Mexico, Universidad Pedagógica Nacional, 2006 (ISBN 970-702-202-7) [lire en ligne], p. 710–716 
• (en) David S. Dummit et Richard M. Foote, Abstract Algebra, New York, Wiley, 1999 (ISBN 0-471-36857-1) 
• (en) H. Freudenthal, Didactical phenomenology of mathematical structures, Dordrecht, The Netherlands, Reidel, 1983 
• (en) Len Frobisher, Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers, London, Cassell, 1999, p. 31–48 
• (en) Fernando Quadros Gouvêa, p-adic numbers: an introduction, Springer-Verlag, 1997 (ISBN 3-540-62911-4) 
• (en) Graduate Management Admission Council, The Official Guide for GMAT Review, McLean, VA, Graduate Management Admission Council, September 2005 (ISBN 0976570904) 
• (en) Joseph E. Grimes, The Thread of Discourse, Walter de Gruyter, 1975 (ISBN 902793164X) 
• (en) Nora Hartsfield et Gerhard Ringel, Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Mineola, Courier Dover, 2003 (ISBN 0-486-43232-7) 
• (en) Kendall F. Haven, Marvels of Math: Fascinating Reads and Awesome Activities, Libraries Unlimited, 1998 (ISBN 1563085852) 
• (en) Kendall F. Haven, 100 Greatest Science Inventions of All Time, Libraries Unlimited, 2005 (ISBN 1591582644) 
• (en) George Hohmann, Companies let market determine new name, 25 October 2007, p. P1C 
• (en) Kaplan Staff, Kaplan SAT 2400, 2005 Edition, Simon and Schuster, 2004 (ISBN 074326035X) 
• (en) Annie Keith, Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers, IAP, 2006 (ISBN 1593114958) 
• (en) Steven George Krantz, Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry, CRC Press, 2001 (ISBN 158488052X) 
• (en) Richard J. Lorentz, Recursive Algorithms, Intellect Books, 1994 (ISBN 1567500374) 
• (en) László Lovász, József Pelikán et Katalin L. Vesztergombi, Discrete Mathematics: Elementary and Beyond, Springer, 2003 (ISBN 0387955852) 
• (en) Frank Morgan, Old Coins, The Mathematical Association of America, 5 April 2001 [lire en ligne (page consultée le 22 August 2009)] 
• (en) Tobias Nipkow, Lawrence C. Paulson et Markus Wenzel, Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer, 2002 (ISBN 3540433767) 
• (en) Hans-Christoph Nuerk, Wiebke Iversen et Klaus Willmes, Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect, vol. 57, July 2004, p. 835–863 
• (en) Wally Parker, Snow lacks substance, 7 March 2001 [lire en ligne (page consultée le 22 August 2009)] 
• (en) H. Salzmann, T. Grundhöfer, H. Hähl et R. Löwen, The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers, Cambridge University Press, 2007 (ISBN 0521865166) 
• (en) Robert Siegel, Analysis: Today's date, November 19th, 1999, contains all odd numbers; the next even-numbered date will be February 2nd, 2000, National Public Radio, 19 November 1999 
• (en) Doug Smock, The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods, 6 February 2006, p. P1B 
• (en) Tony Snow, Bubba's fools, 23 February 2001 [lire en ligne (page consultée le 22 August 2009)] 
• (en) Bill Sones et Rich Sones, To hide your age, button your lips, 8 May 2002, p. C07 
• (en) Ross M. Starr, General Equilibrium Theory: An Introduction, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0521564735) 
• (en) Neil Steinberg, Even year, odd facts, 30 November 1999, p. 50 
• (en) Mark Alan Stewart, 30 Days to the GMAT CAT, Stamford, Thomson, 2001 (ISBN 0-7689-0635-0) 
• (en) Jim Stingl, 01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life, 5 April 2006, p. B1 
• (en) Olga M. Tabachnikova et Geoff C. Smith, Topics in Group Theory, London, Springer, 2000 (ISBN 1-85233-235-2) 
• (en) The Math Forum participants, A question around zero, Drexel University, 2000 [lire en ligne (page consultée le 2007-09-25)] 
• (en) Julian Turner, Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific, 13 July 1996, p. 23 
• (en) Anthony Wilden et Rhonda Hammer, The rules are no game: the strategy of communication, Routledge Kegan & Paul, 1987 (ISBN 0-7100-9868-5) 
• (en) John Wilson, Columnist lacks logic, 9 March 2001 [lire en ligne (page consultée le 22 August 2009)] 
• (en) Stephen Wise, GIS Basics, CRC Press, 2002 (ISBN 0415246512) 
• (en) Samuel Shaw Ming Wong, Computational Methods in Physics and Engineering, World Scientific, 1997 (ISBN 9810230435)