Paul Charpit

Paul Charpit de Villecourt est un mathématicien français, mort en 1784.

Il est l'auteur d'un mémoire transmis à l'Académie Royale des sciences en 1784, dans lequel il donne la méthode de résolution des équations aux dérivées partielles du premier ordre aujourd'hui connu comme la méthode des caractéristiques ou méthode de Lagrange et Charpit.

Il est l'ami de Louis François Antoine Arbogast qui hérita de ses papiers.

Il est cité par Jean-Étienne Montucla dans son histoire des mathématiques.

Le mémoire de Charpit de 1784

Son mémoire, présenté en 1784 à l'académie des sciences n'a jamais été publié et est resté longtemps une énigme. On n'en savait que ce que Lacroix en avait écrit dans son Traité du calcul différentiel et du calcul intégral^[1], ce qui a fait dire de nombreuses contrevérités, jusqu'à ce qu'on retrouve une copie du mémoire en 1928.

Charpit partit d'un mémoire de Lagrange de 1772 et écrivit ce qu'on appelle aujourd'hui les équations différentielles des caractéristiques. Il continua en indiquant qu'il suffisait d'intégrer ces équations, si elles sont résolubles, avec l'équation F(x,y,z,p,q)=0, par rapport aux dérivées p et q. Il obtient ainsi l'intégrale complète en intégrant l'équation aux différentielles totales dz = pdx + qdy. C'est la méthode classique d'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre qu'on trouve dans les cours d'analyse.

Cependant, Charpit n'avait pas démontré les théorèmes inverses nécessaires à la rigueur de sa méthode :

1. Toute intégrale des caractéristiques définit une solution de l'équation linéaire aux dérivées partielles correspondante.
2. Toute intégrale des caractéristiques vérifie la condition d'Euler

$\frac{\partial p}{\partial y} +\frac{\partial p}{\partial z}q=\frac{\partial q}{\partial x}+\frac{\partial q}{\partial z}p.$

Ces théorèmes seront démontrés par Jacobi.

Le devenir des travaux de Charpit

Lagrange ne prit connaissance du mémoire de Charpit qu'en 1793, ce qui explique que le mémoire de 1785^[2] ne sache intégrer que 11 types d'équations. Ces 11 types sont parfaitement expliqués par Charpit qui les prit pour exemples de sa méthode.

Lagrange, quatre ans après avoir pris connaissance du mémoire de Charpit, en 1797, traita ces questions d'une manière plus compliquée que Charpit dans sa Théorie des fonctions analytiques.

Monge, dans ses Applications de l'analyse à la géométrie, en 1809, montra que les solutions sont des courbes de contact avec son enveloppe d'une surface intégrale et que p et q déterminent les plans tangents à cette surface le long de la courbe.

Les noms de Charpit, Lagrange et Monge sont ainsi définitivement associés à ce qui va devenir la méthode des caractéristiques.

En 1815, Pfaff^[3] étendit la méthode de Charpit et donna la première méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles d'une seule fonction inconnue à un nombre quelconque de variables indépendantes. Ce procédé sera simplifié successivement par Cauchy en 1819^[4] puis par Jacobi en 1836^[5].

D'autres travaux de Charpit

La biblioteca Riccardiana de Florence, dans le fond Palagi, possède la plus grande collection connue des œuvres de Charpit, œuvres collectionnées par Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja (1803-1869).

Bibliographie

• N. Saltykow, N. Étude bibliographique sur le mémoire inédit de Charpit, Bulletin des sciences mathématiques série 2 tome 54,p255-264, 1930
• Nicolas Saltykow, Etude bibliographique de la seconde partie du mémoire inédit de Charpit, Bulletin des sciences mathématiques (série 2) Tome 61,p55-64, 1937
• Nikolai Saltykow, Méthodes classiques d'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, mémorial des sciences mathématiques n°50, Gauthier-Villars, Paris, 1931.
• Grattan-Guinnes I. & Engelsman S., The manuscripts of Paul Charpit, Historia Mathematica Tome 9, pp. 65-75, 1982.

Références

1. ↑ Lacroix, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2e édition, tome 2, Paris, 1814, p548
2. ↑ Lagrange, Méthode générale pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre, lorsque ces différences ne sont que linéaires, Nouveaux mémoires de l'académie des sciences et belles-lettres de Berlin, 1785
3. ↑ Allgemeine methode partielle differentialgleichungen und gewöhnliche differentialgleichungen, beide von ester ordnung, in beliebig vielen veränderlichen, vollständig zu integriren, Abhandlungen der Königlichens akademie den wissenchaften in Berlin, 1814–1815
4. ↑ Bulletin de la société philomatique de Paris, 1819, p. 10
5. ↑ Jacobi, Ueber die reduction der integration der partiellen differentialgleichungen erster ordnung zwischen irgend einer zahl variabeln auf die integration eines einzigen systems gewöhnlicher differentialgleichungen, Gesammelte Werke, bd IV, p. 59