Plan de Fano

Une représentation du plan de Fano

En géométrie projective finie, le plan de Fano, nommé ainsi d'après le mathématicien Gino Fano, est le plus petit plan projectif fini, c'est-à-dire celui comportant le plus petit nombre de points et de droites, à savoir 7 de chaque. Il existe un seul plan projectif (au sens des axiomes d'incidence) de 7 points, et c'est le plan projectif sur le corps fini à deux éléments.

Définitions

Le plan de Fano peut être défini de deux façons, soit comme le plan projectif sur le corps à deux éléments, soit comme le plus petit plan projectif vérifiant certains axiomes dits d'incidence. Ces derniers n'assurent pas a priori (c'est une particularité de la dimension 2) que le plan projectif est défini sur un corps, mais dans le cas du plan de Fano elles sont équivalentes : à isomorphisme près (bijection conservant l'alignement), il n'y a qu'un seul plan projectif d'ordre 2.

Une représentation du plan de Fano, comme plan projectif sur F₂. Le coloriage correspond à la dualité dans la base canonique de l'espace vectoriel sous-jaccent (repère projectif (A,B,C,D)).

Définition algébrique

La plan de Fano, est le plan projectif sur le corps à deux éléments F₂ = Z/2Z. Il est noté P²(F₂), PG(2,F₂)^[1], ou simplement PG(2,2)^[2]. Par définition les points du plan de Fano sont donc les droites vectorielles de l'espace vectoriel F₂³, chacune de ces droites possède deux éléments dont un seul est non nul, et qui définit donc le point. Le plan de Fano possède donc exactement 2³-1=7 points (les 7 éléments non nuls de F₂³). Les droites (projectives) du plan de Fano sont les plans vectoriels de F₂³, définis par une équation ax+by+cz = 0, où les coefficients a, b et c sont 0 ou 1, et non tous nuls, ce qui fait également 7 droites.

La dualité entre l'espace vectoriel F₂³ et l'espace dual de ses formes linéaires induit une correspondance bijective par dualité entre points et droites^[3] du plan projectif. Une telle correspondance (elle n'est pas unique) est indiquée sur le dessin ci-contre.

Le plan de Fano défini comme structure d'incidence

Une structure d'incidence est la donnée de deux ensembles P et D disjoints et d'une relation binaire I entre éléments de P et éléments de D, soit un un sous-ensemble de P×D. Un plan projectif peut être défini comme une structure d'incidence vérifiant les axiomes d'incidence de la géométrie projective plane^[4] ; P et l'ensemble des points du plan, D celui des droites du plan. Pour « un point et une droite sont incidents », on dit également que le point est sur la droite ou que la droite passe par le point.

Ainsi le plan projectif PG(2,F₂) définit bien une structure d'incidence, qui peut se décrire soit par la matrice de la relation binaire, dite matrice d'incidence, ou par la donnée pour chaque droite des ensembles de points qui lui sont incidents. Pour les notations du dessin ci dessus, cela donne (la matrice ci-dessous répond à la question « telle droite est-elle incidente à tel point ? », 1 signifiant que oui, et 0 que non) :

A B C D E F G a 0 1 1 0 1 0 0 b 1 0 1 0 0 1 0 c 1 1 0 0 0 0 1 d 0 0 0 0 1 1 1 e 1 0 0 1 1 0 0 f 0 1 0 1 0 1 0 g 0 0 1 1 0 0 1

a = {B, C, E} b = {A, C, F} c = {A, B, G} d = {E, F, G} e = {A, D, E} f = {B, D, F} g = {C, D, G}

Si l'on voit chacune des 7 droites comme l'ensemble des 3 points qui lui sont incidents, la relation d'incidence est la relation d'appartenance à cet ensemble. Mais on pourrait tout aussi bien donner pour chaque point l'ensemble des droites passant par ce point. Deux points X et Y étant donnés, l'unique droite passant par X et Y peut se noter (XY). Deux droites distinctes x et y étant données, l'unique point à l'intersection de x et y peut se noter x ∩ y^[5]. La symétrie de la matrice met en évidence une correspondance par dualité entre points et droites : on peut échanger les noms des points et des droites et l'on obtient la même matrice. Une matrice d'incidence du plan de Fano n'est pas nécessairement symétrique^[6].

Une autre représentation du plan de Fano : le quadrangle A, B, C, D et ses trois points diagonaux E, F et G définissent un plan de Fano si ces trois derniers sont alignés.

On vérifie qu'un plan projectif défini axiomatiquement par les seuls axiomes d'incidence contient au moins 7 points et 7 droites. En effet les axiomes d'incidence imposent l'existence d'un quadrangle, c'est-à-dire d'un quadrilatère dont 3 points parmi ces 4 ne sont jamais alignés et qui définit donc 6 droites distinctes. On note (ABCD) le quadrangle. Chacun des trois points diagonaux, E = (AD)∩(BC), F =(BD)∩(CA) et G = (CD)∩(AB) ne peut être situé sur aucune autre droite que les deux qui le définissent, car sinon deux des 6 droites initiales seraient confondues. En particulier les 3 points diagonaux ne peuvent être confondus ni entre eux, ni avec les points de départ, et donc le plan possède 7 points au moins. On peut décider que les 3 points diagonaux sont alignés, on obtient ainsi une structure d'incidence de 7 points et 7 droites dont on vérifie facilement qu'elle satisfait les axiomes de plan projectif. La structure est en fait identique à celle définie algébriquement précédemment. Tout autre choix indurait l'existence de 3 nouvelles droites (EF), (FG) et (EG), et par intersection par exemple de (EF) avec (CD), de nouveaux points. Il n'y a donc, à isomorphisme de la structure d'incidence près, qu'un seul plan de 7 points qui est bien le plus petit plan projectif défini par les axiomes d'incidences^[7].

Qui plus est dans le plan de Fano, tout quadrangle complet a ses 3 points-diagonaux alignés. On en déduit la propriété duale, à savoir que dans le plan de Fano, tout quadrilatère complet, donnée de 4 droites dont aucune combinaison de 3 n'est concourante, a ses 3 diagonales concourantes.

Configuration de Fano dans un plan projectif

Ces propriétés sont le cas particulier d'un résultat plus général. On appelle configuration de Fano la donnée dans un plan projectif d'un quadrangle complet dont les points diagonaux sont alignés. Alors^[8] :

Proposition. — Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur un corps K. Si le plan projectif P(E) contient une configuration de Fano, le corps K est de caractéristique 2, et alors tout quadrangle complet a ses points diagonaux alignés. Réciproquement si le corps est de caractéristique 2, tous les quadrangles complets sont des configurations de Fano.

En particulier il n'est pas possible de plonger le plan de Fano dans le plan projectif réel (caractéristique 0), et donc dans le plan euclidien usuel, en conservant l'alignement de tous les points : dans toutes les représentations du plan de Fano au moins l'une des droites est représentée par une courbe.

La proposition peut se démontrer en se ramenant à la géométrie affine. Si l'on rejette à l'infini les deux points diagonaux E et G, le quadrangle (ABCD) devient un parallélogramme. Dire que les points E, F et G sont alignés, se traduit alors par le fait que le point F est à l'infini, c'est-à-dire que les diagonales (AC) et (BD) sont parallèles. Un simple calcul vectoriel permet de vérifier que c'est bien le cas si le corps est de caractéristique 2, et que sinon, c'est-à-dire dès que l'on peut diviser par 2 dans le corps et donc parler de milieu de deux points, ça n'est pas possible.

Par dualité on a le résultat analogue pour les quadrilatères complets.

Le graphe d'incidence du plan de Fano met en évidence la dualité : les points rouges représentent les points et les points bleus les droites ou inversement.

Ensemble parfait de différences

Une conséquence immédiate de la définition comme structure d'incidence est qu'un plan projectif fini peut être vu comme un graphe biparti, points et droites. Celui du plan de Fano est le Graphe de Heawood^[9].

Les points et droites du plan de Fano numérotés comme sur le graphe de Heawood ci-dessus.

L'indexation des points des droites du plan de Fano fournie par le graphe de Heawood permet de caractériser arithmétiquement la relation d'incidence, en utilisant la congruence modulo 7. Les éléments de Z/7Z peuvent être représentés par les restes par la division par 7, soit {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• points: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
• droites : {0, 1, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 0}, {5, 6, 1}, {6, 0, 2}

Il y a 7 points et 7 droites. Suivant le graphe, les droites sont obtenues successivement à partir de la première ({0, 1, 3}) et en ajoutant le même entier à chacun des éléments de la première droite. La numérotation des droites se déduit par symétrie de celle des points.

On en déduit que le sous-ensemble {0, 1, 3} est un ensemble parfait de différences de Z/7Z, ce qui signifie que tout élément de Z/7Z s'écrit comme différence (prise modulo 7) de deux éléments de ce sous-ensemble^[10].

ensemble parfait de différences

0	1	3	3	0	1	0
− 0	− 0	− 1	− 0	− 3	− 3	− 1
= 0	= 1	= 2	= 3	= 4	= 5	= 6

L'indexation des points et des droites fournit la caractérisation arithmétique suivante. Un point est incident à une droite quand la somme modulo 7 des indices du point et de la droite appartient à l'ensemble parfait de différences {0,1,3}, il n'est pas incident dans le cas contraire.

À l'application x$\scriptstyle\mapsto$x+1 sur Z/7Z est donc associée par cette indexation une permutation des points du plan qui préserve l'alignement (que l'on appelle collinéation), et qui engendre un groupe cyclique à 7 éléments. L'orbite d'un point du plan est l'ensemble de tous les points du plan ; de même pour les droites.

Plan de Fano et groupe multiplicatif du corps fini F₈

Si on voit maintenant F₂³ comme le corps fini F₈ (qui à une structure d'espace vectoriel de dimension 3 sur F₂) les points du plan de Fano correspondent aux éléments de F₈^*, groupe multiplicatif de F₈ ; celui-ci est cyclique, donc isomorphe donc au groupe additif Z/7Z et engendré par un élément primitif α (voir l'article corps fini). Tout élément du plan de Fano est une puissance de α, et (1,α,α²) est une base de l'espace vectoriel F₈. La multiplication par α définit une application linéaire bijective sur F₈, donc une homographie de l'espace projectif. À αⁱ elle associe αⁱ⁺¹, et en indexant αⁱ par i, on retrouve la collinéation du précédent paragraphe : une droite projective définit alors un ensemble parfait de différences. En utilisant cette méthode, ce résultat se généralise alors à n'importe quel plan projectif sur un corps fini^[11].

Groupe des symétries.

Une permutation des sept points du plan de Fano qui conserve l'alignement est appelée collinéation (en), automorphisme ou symétrie du plan. Ces permutations forment un groupe. Dans le cas du plan de Fano, défini sur un corps premier, les collinéations sont toutes des homographies, et le corps n'ayant que deux éléments, ces homographies sont déterminées de façon unique par l'application linéaire sur F₂³ associée, c'est-à-dire par une matrice inversible 3x3 à coefficients dans F₂. Il y a 7×6×4 = 168 telles matrices, toutes de déterminant 1. Le groupe des symétries du plan de Fano est donc le groupe général linéaire GL(3,2) mais aussi le groupe spécial linéaire PSL(3,2), et on peut montrer que c'est l'unique Groupe simple d'ordre 168, qui est encore le groupe projectif spécial linéaire PSL(2,7).

Ce groupe se décompose en 6 classes de conjugaison, qui peuvent être décrites en termes de permutations des points:

• l'identité ;
• 21 permutations de points de type (12)(34) qui maintiennent tous les 3 points sur une ligne fixe, et pour l'un de ces points, les 2 autres lignes à travers elle, ils intervertissent les 4 autres points deux à deux, et de même pour les 4 autres lignes ;
• 56 permutations de points de type (123)(456) qui effectuent la rotation d'un triangle (une permutation circulaire des 3 sommets, et une permutation cyclique correspondante des 3 autres points sur les côtés, en gardant le septième point fixe, d'où "« rotations autour d'un point »); en d'autres termes: garder un point fixe, et choisir 3 autres points sur une ligne, effectuer une permutation circulaire des 3 points sur la ligne, et une permutation cyclique correspondante des 3 autres points ;
• 42 permutations de points de type (12)(3456) qui gardent un point fixe, intervertissent les deux autres points sur une seule ligne par le point fixe, et effectuant une permutation circulaire des 4 restants ;
• deux classes de permutations de type point (1234567) :
  • 24 avec A associé à B, B à C, C au 3^e point sur AB, D au 3^e point sur BC, etc. ;
  • 24 avec A associé à B, B à C, C au 3^e point sur AC, D au 3^e point sur BD, etc.

Voir aussi

• Octonion
• géométrie finie (en)

Notes et références

1. ↑ par exemple Casse 2006, p. 49
2. ↑ PG pour projective geometry, le premier argument est la dimension de l'espace, le second le nombre d'éléments du corps fini, notation due O. Veblen et W.H. Bussey, voir Coxeter 1987, p. 91.
3. ↑ Lelong-Ferrand 1985, p. 133
4. ↑ définition non équivalente à la précédente dans le cas général, Lelong-Ferrand 1985, p. 161 parle de plan de type projectif, mais souligne que le plus souvent on parle également de plan projectif
5. ↑ Notations de Lelong-Ferrand 1985, on trouve aussi, par exemple XY et x•y Coxeter 1987, p. 7, et d'autres ...
6. ↑ il suffit ci-dessus d'échanger deux noms de droites, les points restant dans le même ordre, pour s'en convaincre.
7. ↑ Lelong-Ferrand 1985, p. 162.
8. ↑ Lelong-Ferrand 1985, p. 142
9. ↑ Coxeter 1950, p. 424.
10. ↑ Coxeter 1987, p. 93, le plan de Fano est traité en exercice page 96.
11. ↑ c'est le théorème de Singer, voir Casse 2006, p. 70 ; à noter que dans le cas général PG(2,F_q) ne s'identifie plus au groupe multiplicatif (F_q³)^*, mais à son quotient par F_q^*.

Bibliographie

• (en) H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer Verlag, 1987, 2^e éd. (ISBN 0-387-40623-9) .
• (en) H. S. M. Coxeter, « Self-dual configurations and regular graphs », dans Bull. Amer. Math. Soc., vol. 56, 1950 [texte intégral (page consultée le 20/03/2011)] , plus particulièrement pages 423-425.
• Jacqueline Lelong-Ferrand, Fondements de la géométrie, PUF, 1985 (ISBN 2-13-038851-5) 
• (en) Rey Casse, Projective Geometry an introduction, Oxford University Press, 2006 (ISBN 0199298858) .