Plan projectif réel

En mathématiques, le plan projectif réel, noté RP² ou P²(R), est un exemple simple d'espace projectif (le corps des coefficients est le corps des nombres réels, il s'agit d'un exemple de petite dimension), permettant d'illustrer les mécanismes fondamentaux de la géométrie projective. Notamment, des représentations graphiques simples sont possibles qui font apparaître les caractéristiques propres à cette géométrie, contrairement au cas de la droite projective réelle, ou d'espaces construits sur d'autres corps de coefficients.

Définition

Le plan projectif réel est la structure obtenue en quotientant l'espace vectoriel épointé $\mathbf{R}^3-\{(0,0,0)\}$ par la relation d'équivalence « être colinéaire ». Informellement, il s'agit de considérer l'espace usuel de dimension 3 duquel on retire un point considéré comme l'origine, et d'identifier deux points de cet espace dès qu'ils sont alignés avec cette origine.

Ainsi, il existe une bijection canonique entre le plan projectif réel et l'ensemble des droites vectorielles de l'espace $\mathbf{R}^3$.

Construction explicite

Géométriquement, le plan projectif peut être vu comme étant constitué de deux parties : une partie affine, qui peut être identifiée au plan usuel, et une partie dite « à l'infini », qui est une droite projective réelle.

Le plan du bas représente le plan z = 0. Le plan du haut représente le plan z = 1. Les images des droites passant par l'origine se feront sur le plan z = 1 (triangle bleu)

Concrètement, cette distinction apparaît lorsqu'on construit le plan projectif en considérant les éléments du plan projectif réel comme les droites vectorielles de $\mathbf{R}^3$. On fixe un plan affine ne passant pas par l'origine, par exemple le plan d'équation z=1, et on peut ainsi associer à chaque droite vectorielle non parallèle à ce plan, son unique point d'intersection avec ce plan. On distingue ainsi une partie du plan projectif réel, qui est mise naturellement en bijection avec un plan usuel : on appelle cette partie, partie affine.

La partie du plan projectif qui n'est pas atteinte par cette construction est constituée des droites incluses dans le plan d'équation z=0. Elle s'identifie donc naturellement à une droite projective réelle, qu'on appelle droite à l'infini.

Coordonnées homogènes

Les points de l'espace épointé $\mathbf{R}^3-\{(0,0,0)\}$ s'écrivent sous la forme de triplets (x,y,z) de nombres réels non tous nuls. Un tel point étant fixé, la droite vectorielle passant par ce point est l'ensemble des triplets de la forme (kx,ky,kz), où k varie dans l'ensemble des réels non nuls. On appelle alors coordonnées homogènes du point correspondant du plan projectif réel tout triplet de la forme [kx:ky:kz] ; dans un triplet de coordonnées homogènes, l'une au moins des trois coordonnées est non nulle. Un point du plan projectif admet plusieurs triplets de coordonnées homogènes, et on passe de l'un à l'autre par multiplication des trois coordonnées par un même réel non nul.

Dans cette notation, les points admettant des coordonnées de la forme [x:y:0] forment la droite à l'infini, et les autres points peuvent tous être écrit sous la forme [x:y:1] et forment un plan affine.

Représentation du plan projectif réel

Le plan projectif réel peut être aussi construit à partir d'une sphère, par identification des points antipodaux.

Une autre façon de procéder est de partir d'un hémisphère fermé, c'est-à-dire comprenant le cercle équatorial. Il reste alors à identifier, sur le cercle équatorial, les points antipodaux. Dans cette représentation, l'hémisphère ouvert considéré s'identifie à un plan usuel via une projection centrale par rapport au centre de la sphère, et le cercle équatorial fournit une droite à l'infini. Lors du processus d'identification des points équatoriaux, la topologie de l'hémisphère ouvert n'est pas modifiée ; plus généralement, la topologie du plan projectif réel au voisinage de chacun de ses points est celle du plan usuel - ou d'une sphère. La modification porte uniquement sur la topologie globale.

Le mathématicien Werner Boy imagina une immersion du plan projectif réel dans l'espace usuel de dimension 3, appelée surface de Boy.

Homogénéisation des équations de courbes algébriques

Soit une courbe algébrique du plan usuel, admettant une équation de la forme P(x,y)=0, où P est un polynôme en deux indéterminées. On identifie alors le plan usuel à l'ensemble des points admettant des coordonnées homogènes de la forme [x:y:1] dans le plan projectif. Le procédé d'homogénéisation permet d'obtenir à partir de l'équation initiale l'équation d'une courbe dans le plan projectif qui prolonge la courbe initiale à la droite à l'infini.

Homogénéisation des droites

Une équation de droite dans le plan affine est de la forme ax+by+c=0, avec (a,b,c) trois réels, et a ou b non nul. L'équation homogène associée est alors l'équation P^*(x,y,z)=ax+by+cz=0, obtenue en multipliant le terme constant initial par z de manière à ce que le membre de gauche de l'équation soit un polynôme homogène, c'est-à-dire ait tous ses termes de même degré (ici 1). Un point du plan projectif de coordonnées homogènes [x:y:z] est alors sur la droite projective ainsi obtenue si et seulement si P^*(x,y,z)=0, ce qui est indépendant du choix des coordonnées homogènes : en effet, pour tout k réel non nul, par homogénéité de P^*, l'égalité P^*(kx,ky,kz)=kP^*(x,y,z) est vérifiée, et donc P^*(kx,ky,kz) et P^*(x,y,z) sont simultanément nuls.

Un point dans le plan affine initial admet des coordonnées homogènes de la forme [x:y:1], et P^*(x,y,1)=P(x,y), ce qui montre que le point [x:y:1] est sur la droite projective ainsi définie si et seulement si le point (x,y) est sur la droite affine initiale : on a donc bien prolongé la droite affine initiale en une droite projective.

Homogénéisation des courbes

L'homogénéisation des équations de courbes algébriques se fait de manière similaire, en multipliant chaque terme d'un polynôme P en deux variables par une puissance de z convenable, de manière à obtenir un polynôme P^*, homogène, et de degré égal à celui du polynôme initial. Par exemple, la courbe aX² + bX − Y + c = 0 devient après homogénéisation:

aX² + bXZ − YZ + cZ² = 0.

Bibliographie

(en) Linear Algebra and Projective Geometry, Reinhold Baer, Dover, 2005 (ISBN 0-486-44565-8)

Voir aussi

Articles connexes

• Tétrahémihexaèdre
• Surface romaine

Liens externes

• Cours de géométrie projective expliquant la représentation du plan projectif
• Le plan projectif sur youtube