Produit tensoriel d'algèbres

En mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre.

Définition

Soit R un anneau commutatif. Soient A,B deux R-algèbres (non nécessairement commutatives). On peut les considérer comme des R-modules et construire le produit tensoriel $A\otimes_R B$. On montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle

$(a_1\otimes b_1).(a_2\otimes b_2)=(a_1a_2)\otimes (b_1b_2)$.

pour tous $a_1, a_2\in A$ et $b_1, b_2\in B$. La structure de R-module plus cette loi de composition interne fait de $A\otimes_R B$ une R-algèbre.

Il existe des homomorphismes de R-algèbres canoniques $A\to A\otimes_R B$, $B\to A\otimes_R B$ définis respectivement par $a\mapsto a\otimes 1$ et $b\mapsto 1\otimes b$.

Ce produit tensoriel possède de plus une structure de A-algèbre à gauche lorsque A est commutatif, et une structure de B-algèbre à droite lorsque B est commutatif.

Exemples:

• Produit tensoriel d'algèbres de matrices

• Produit tensoriel d'algèbres centrales simples

• $R[T_1,\ldots, T_n]\otimes_R B=B[T_1,\ldots, T_n]$.

Propriété universelle

Lorsque A et B sont commutatifs, le produit tensoriel $A\otimes_R B$ est leur somme catégorielle dans la catégorie des R-algèbres commutatives:

Si $\phi: A\to C$ et $\psi : B\to C$ sont des homomorphismes de R-algèbres commutatives, alors il existe un unique homomorphisme de R-algèbres $\rho : A\otimes_R B\to C$ tel que $\rho(a\otimes 1)=\phi(a)$ et $\rho(1\otimes b)=\psi(b)$ pour tous $a\in A, b\in B$.

En géométrie algébrique, cette propriété universelle permet de définir le produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un même schéma affine.

Références

(en) S. Lang: Algebra, Springer, third edition 2002, XVI, §6.