Profondeur d'un module

En algèbre commutative, la profondeur d'un module est une mesure de la taille de son support.

Définition

Soit M un module sur un anneau commutatif A. Un élément a ∈ A est dit M-régulier si ax = 0 avec x ∈ M implique que x = 0. Les éléments A-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers de A (éléments non diviseur de 0).

Une suite (ordonnée) a₁,...,a_n d'éléments de A est appelée une suite M-régulière si pour tout i plus petit que n, a_i est régulier pour le module M / (a₁M + ... + a_{i − 1}M).

Lorsque A est un anneau noethérien, M est de type fini et I est un idéal de A tel que $IM \ne M$, le plus grand entier n tel qu'il existe une suite M-régulière d'éléments appartenant à I est appelé la I-profondeur de M. Si de plus A est local de maximal m, la m-profondeur de M est simplement appelée la profondeur de M.

On dit qu'un anneau noethérien A est un anneau de Cohen (en)-Macaulay (en) si pour tout idéal premier P de A, l'anneau local A_P est de profondeur (en tant que A_P-module) égale à sa dimension de Krull.

Propriétés

Profondeur et platitude

Soient A, B des anneaux locaux noethériens. Soient $A\to B$ un homomorphisme plat et M un A-module de type fini. Alors

$\mathrm{prof}_B(M\otimes_A B) = \mathrm{prof}_A(M) + \mathrm{prof}_{B\otimes_A k} (M\otimes_A k)$^[1]

où k est le corps résiduel de A.

Notes

1. ↑ A. Grothendieck et J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, IV.6.3.1.

Bibliographie

(en) H. Matsumura, Commutative algebra, second edition, The Benjamin/Cummings Publ. Company, 1980. Chapter 6