Somme amalgamée

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Diagramme commutatif traduisant la propriété universelle de la somme amalgamée.

En mathématiques, la somme amalgamée est une opération entre deux ensembles constituant les espaces d'arrivée de deux applications définies sur un même troisième ensemble. Le résultat satisfait une propriété universelle de factorisation de diagrammes, duale de celle du produit fibré et qui peut être valable dans d'autres catégories comme celle des groupes. La somme amalgamée intervient ainsi dans la description du groupe fondamental de certains espaces topologiques par le biais du théorème de Van Kampen.

Par analogie avec la traduction anglaise de « produit fibré » (pullback), la somme amalgamée est parfois désignée par sa traduction en pushout (« poussé en avant »).

Définition ensembliste

Étant données deux applications définies sur un même ensemble :

$\begin{array}{l} A \stackrel{f}{\longrightarrow} X \\ \!{\scriptstyle g}\!\!\downarrow \\ Y \end{array}$

la somme amalgamée de X et Y le long de A est définie comme le quotient de l'union disjointe de X et Y par la relation :

$f(a)\sim g(a)\,$

pour tout a dans A. Elle se note :

$X \underset{A}{\sqcup} Y$

La somme amalgamée étant un quotient de l'union disjointe, les injections canoniques induisent des applications qui permettent de compléter le carré commutatif :

$\begin{array}{crc} A & \longrightarrow\!\!\!\! & X \\ \downarrow & & \downarrow\!\! {\scriptstyle \iota_X}\!\!\!\!\!\! \\ Y & \stackrel{\iota_Y}{\to} & X \underset{A}{\sqcup} Y\end{array}$

Dans des catégories ensemblistes, telles celles des espaces topologiques ou des espaces vectoriels, la somme amalgamée constitue elle-même un objet de la catégorie.

Propriété universelle

Avec les notations de la partie précédentes, si Z est l'ensemble d'arrivée de deux applications définies respectivement sur X et Y et permettant de construire un carré commutatif :

$\begin{array}{crc} A & \longrightarrow & X \\ \downarrow & & \downarrow\!\! {\scriptstyle i}\!\!\!\!\!\! \\ Y & \stackrel{j}{\longrightarrow} & Z\end{array}$

alors il existe une unique application h de la somme amalgamée vers l'ensemble Z qui factorise le diagramme :

$i = h\circ \iota_X \qquad j = h\circ \iota_Y$

Autrement dit, la somme amalgamée est la colimite du diagramme formé à l'aide des deux applications initiales f et g. Il est aussi possible de la voir comme la somme (au sens des catégories) dans une catégorie des morphismes partant de A.

Plus généralement, la somme amalgamée dans une catégorie quelconque est la colimite d'un tel diagramme, lorsqu'elle existe, ce qui est le cas dans les catégories abéliennes.