Q0-matrice

En mathématiques, une $\mathbf{Q_0}$-matrice est une matrice carrée réelle apportant des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire. Ce sont celles qui assurent l'existence d'une solution dès que le problème est réalisable.

Définitions

Quelques notations

Pour un vecteur $v\in\R^n$, la notation $v\geqslant 0$ signifie que toutes les composantes v_i du vecteur sont positives.

On note $\R^n_+:=\{x\in\R^n:x\geqslant 0\}$ l'orthant positif de $\R^n$.

Si A est une matrice d'ordre n, on note $A(\R^n_+):=\{Ax:x\geqslant 0\}$ l'image de $\R^n_+$ par A ; c'est un cône polyédrique (donc un fermé).

Problème de complémentarité

Étant donnés une matrice réelle carrée $M\in\R^{n\times n}$ et un vecteur $q\in\R^n$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\in\R^n$ tel que $x\geqslant 0$, $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top}(Mx+q)=0$, ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :

$\mbox{CL}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp(Mx+q)\geqslant 0.$

Un point x vérifiant $x\geqslant 0$ et $Mx+q\geqslant 0$ est dit admissible pour le problème CL(M,q) et l'ensemble

$\mbox{Adm}(M,q):=\{x\in\R^n: x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}$

est appelé l'ensemble admissible de ce problème. On dit que le problème CL(M,q) est réalisable si $\mbox{Adm}(M,q)\ne\varnothing$.

Q0-matrice

Pour $M\in\R^{n\times n}$, on introduit les deux cônes de $\R^n$ suivants

$\begin{array}{rcl} Q_R(M)&:=&\{q\in\R^n: \operatorname{CL}(M,q)~\mbox{est réalisable}\}, \\ Q_S(M)&:=&\{q\in\R^n: \operatorname{CL}(M,q)~\mbox{a une solution}\}. \end{array}$

Évidemment $Q_S(M)\subset Q_R(M)$, sans que l'on ait nécessairement égalité (c'est ce qui motive l'introduction de la notion de $\mathbf{Q_0}$-matrice). Le cône Q_R(M) est convexe polyédrique car il s'écrit comme la somme de deux cônes convexes polyédriques :

$Q_R(M)=R^n_+-M(R^n_+)$.

Au contraire, Q_S(M) n'est pas nécessairement convexe. En réalité, on montre que Q_S(M) est une réunion de cônes convexes polyédriques^[1],[2],[3] (disjoints quel que soit q si et seulement si M est suffisante en colonne^[4]) :

$Q_S(M)=\displaystyle\bigcup_{I\subset\{1,\ldots,n\}}\,K_I(\R^n_+)$,

où K_I est la matrice dont les colonnes sont données par

$(K_I)^I=-M^I \qquad\mbox{et}\qquad (K_I)^{I^c}=I^{I^c}.$

On voit que les deux cônes dont Q_R(M) est la somme sont contenus dans Q_S(M) ; on les obtient en prenant $I=\varnothing$ et $I=\{1,\ldots,n\}$. Ces observations conduisent à la définition suivante.

Q0-matrice — On dit qu'une matrice $M\in\R^{n\times n}$ est une $\mathbf{Q_0}$-matrice si elle vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes :

1. le problème $\operatorname{CL}(M,q)$ a une solution s'il est réalisable,
2. Q_S(M) = Q_R(M),
3. Q_S(M) est convexe.

On note $\mathbf{Q_0}$ l'ensemble des $\mathbf{Q_0}$-matrices.

Annexes

Note

1. ↑ Selon Cottle, Pang et Venkateswaran (1989), les cônes $K_I(\R^n_{++})$ ont été introduits par Samelson, Thrall et Wesler (1958) et ont été étudiés dans le contexte des problèmes de complémentarité linéaire par Murty (1972).
2. ↑ (en) H. Samelson, R. M. Thrall, O. Wesler (1958). A partition theorem for the Euclidean n-space. Proceedings of the American Mathematical Society, 9, 805–807.
3. ↑ (en) K.G. Murty (1972). On the number of solutions to the complementarity problem and spanning properties of complementarity cones. Linear Algebra and its Applications, 5, 65–108.
4. ↑ (en) R.W. Cottle, J.-S. Pang, V. Venkateswaran (1989). Sufficient matrices and the linear complementarity problem. Linear Algebra and its Applications, 114, 231–249. doi

Articles connexes

• Complémentarité linéaire
• P-matrice

Bibliographie

• (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.