Relation de Slutsky

La relation de Slutsky est un élément de la théorie du consommateur permettant de relier formellement la demande Marshallienne à la demande Hicksienne. Conceptuellement, elle permet de séparer la réponse de la demande à une variation du prix d'un bien en deux éléments, un effet de substitution, résultat du changement des prix relatifs entre deux biens, et un effet de revenu résultant du changement du pouvoir d'achat d'ensemble du consommateur. Elle doit son nom à l'économiste Eugen Slutsky.

Formellement, soit x_i(p,w) la demande Marshalienne, c'est-à-dire la quantité x_i de bien i que le consommateur voudrait acheter lorsqu'il fait face aux prix p = (p₁,...,p_n) et dispose d'un revenu w, et soit h_i(p,u) sa demande Hicksienne pour ce même bien, c'est-à-dire la quantité de h_i bien i qu'il consomme pour atteindre le niveau d'utilité u aux prix p en minimisant sa dépense p.h. Ces deux grandeurs sont reliées entre elles par la relation de Slutsky.

${\partial x_i(p, w) \over \partial p_j} = {\partial h_i(p, u) \over \partial p_j} - {\partial x_i(p, w) \over \partial w } x_j(p, w)$

Si on considère l'ensemble des biens, cette relation peut être écrite sous forme matricielle :

$D_p x(p, w) = D_p h(p, u)- D_w x(p, w) x(p, w)^\top$

où D_p désigne la dérivée par rapport au vecteur de prix et D_w la dérivée par rapport au revenu. La matrice D_ph(p,u) est parfois désignée sous le nom de matrice de Slutsky. Pour les fonctions d'utilité sous-jacente usuelles, cette matrice est symétrique et semi-définie positive.

En termes d'analyse, la demande Hicksienne permet de savoir quelle quantité d'un certain bien il faudrait donner à un consommateur pour lui assurer le même niveau d'utilité suite à une mesure qui changerait le prix de ce bien ou d'un autre bien. L'expression de la demande Hicksienne requiert toutefois de connaître le niveau d'utilité de l'agent, qui n'est pas un élément directement observable. En revanche, le demandes Marshaliennes et leurs réponses à un changement de prix sont observables, et la relation de Slustsky permet d'en déduire la demande Hicksienne.

Cette relation montre en outre que les restrictions imposées à la demande dans le cadre de la théorie des préférences sont plus fortes que celles découlant d'une dérivation de la demande d'une théorie des choix fondée sur l'axiome des préférences révélées. En fait, lorsque la matrice de Slutsky n'est pas symétrique, il est impossible de trouver une relation de préférence rationalisant la demande ainsi représentée.

Notes et références

Références

• (en) Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston et Jerry R. Green, Microeconomic Theory [détail des éditions] , Section 3.G: Demand, Indirect utility, and Expenditure functions, p. 71 - 73.