Règle de L'Hôpital sur la monotonie

En analyse réelle, les règles de L'Hôpital sur la monotonie (en anglais L'Hospital rules for monotonicity ou LMR^[1]) sont des relations liant le sens de variation d'un quotient de deux fonctions numériques au sens de variation du quotient de leurs dérivées. Elles portent le nom de règles de L'Hôpital en référence à la règle de L'Hôpital liant la limite du quotient de deux fonctions tendant vers zéro à la limite du quotient de leurs dérivées. Elles sont utilisés pour déterminer plus facilement des sens de variations et démontrer des inégalités^[2],[3],[4].

Règle première

Théorème^[4] — Soient a < b deux réels et soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[. Si on suppose que g' n'est jamais nulle et garde un signe constant et si l'on a f(a) = g(a) = 0 alors si $\frac{f'}{g'}$ est croissante ou décroissante sur ]a,b], il en est de même de $\frac fg$.

Remarque : ce théorème est aussi valable lorsqu'on remplace l'hypothèse f(a) = g(a) = 0 par f(b) = g(b) = 0. Il se généralise à des fonctions définies et dérivables sur ]a,b[ où a et b peuvent valoir $+ \infty$ ou $- \infty$. L'hypothèse porte alors sur la limite de f et g en a ou en b.

La démonstration fait appel au théorème des accroissements finis généralisé dans un simple calcul de dérivée d'un quotient^[1].

Démonstration

Le fait que la fonction g' ne soit jamais nulle et garde un signe constant conduit à dire que la fonction g est strictement monotone. Comme elle s'annule en a, elle n'est jamais nulle sur ]a,b[ et a même signe que g'. La fonction $h=\frac fg$ est donc définie et dérivable sur ]a,b[, de dérivée

$h'=\frac {f'g-g'f}{g^2}=\frac{gg'}{g^2}\left(\frac{f'}{g'}-\frac fg \right)$.

Les fonctions f et g étant continues sur [a,b] dérivables sur ]a,b[ et g' ne s'annulant pas sur ]a,b[, pour tout réel x de l'intervalle ]a,b], on peut appliquer le théorème des accroissements finis généralisé à l'intervalle [a,x]. Il existe donc un réel t de l'intervalle ]a,x[ tel que

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(t)}{g'(t)}~.$

Supposons la fonction $\frac {f'}{g'}$ strictement croissante, alors l'inégalité t < x conduit à l'inégalité

$\frac{f'(t)}{g'(t)} < \frac{f'(x)}{g'(x)}$

autrement dit

$\frac{f(x)}{g(x)} < \frac{f'(x)}{g'(x)}~.$

D'autre part, puisque g et g' ont même signe et ne s'annulent jamais, pour tout réel x de l'intervalle ]a,b[, on a

$\frac{g(x)g'(x)}{g^2(x)} >0~.$

Ces deux inégalités assurent que la dérivée de h est toujours strictement positive. La fonction $\frac fg$ est alors strictement croissante. Un raisonnement analogue peut être fait pour une fonction $\frac {f'}{g'}$ strictement décroissante, ou pour des fonctions s'annulant toutes deux en b.

Variantes

Si aucune condition n'est posée sur la valeur de f et g aux bornes de l'intervalle, on peut encore, dans certaines circonstances, déduire du sens de variation de $\frac{f'}{g'}$, celui de $\frac fg$^[2]. Ainsi pour les cas de fonctions dérivables sur ]a,b[ de dérivées continues :

• si $\frac{f'}{g'}$ est croissante et gg' > 0, ou si $\frac{f'}{g'}$ est décroissante et gg' < 0, alors $\frac fg$ est soit monotone, soit décroissante puis croissante ;
• si $\frac{f'}{g'}$ est décroissante et gg' > 0, ou si $\frac{f'}{g'}$ est croissante et gg' < 0, alors $\frac fg$ est soit monotone, soit croissante puis décroissante.

Notes et références

1. ↑ ^{a et b} G.D. Anderson, M.K. Vamanamurthy, M. Vuorinen, Monotonicity of some functions in calculus.
2. ↑ ^{a et b} Iosif Pinelis, L'Hospital rules for Monotonicity and the Wilker-Anglesio Inequality, 2004
3. ↑ Ling Zhu, Some new inequalities of the Huygens type, 2009
4. ↑ ^{a et b} Iosif Pinelis, L'Hospital type rules for monotonicity:applications to probability inequalities for sums of boundes Random Variables, 2001