Réunion disjointe

La réunion disjointe est une opération sur les ensembles. La définition est donnée ci-dessous.

Lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est-à-dire que l'on réunit les deux ensemble comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux.

La réunion disjointe d'une famille d'ensembles correspond à leur somme en théorie des catégories.

On utilise beaucoup la réunion disjointe en topologie. Alliée avec l'espace quotient, la réunion disjointe permet de construire de nombreux espaces, notamment les variétés topologiques, les complexes cellulaires ou simpliciaux.

Définition

Soit $(E_i)_{i\in I}$ une famille d'ensembles. Leur réunion disjointe est l'ensemble

$\bigsqcup_{i\in I} E_i = \{(i,x)\mid x\in E_i\}$.

C'est bien un ensemble parce que, comme il est dit à l'article famille d'ensembles, la classe {E_i | i ∈ I} est un ensemble, donc aussi la réunion $\mathcal E$ de tous ses éléments. La réunion disjointe de la famille peut alors être obtenue par schéma d'axiomes de compréhension en la décrivant comme une partie du produit cartésien $I\times\mathcal E$^[1].

Réunion disjointe d'espaces topologiques

Dans la définition ci-dessus, si chaque E_i est un espace topologique, on dispose d'une topologie naturelle sur $\sqcup_{i\in I} E_i$, dont les ouverts sont les réunions disjointes $\sqcup_{i\in I} U_i$ où chaque U_i est un ouvert de E_i.

Cette structure, appelée somme topologique (en), joue le rôle de somme dans la catégorie des espaces topologiques.

Références

1. ↑ La remarque pour la réunion ordinaire est faite dans René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles  [détail des éditions], p. 124 de l'édition de 1993.