Bicommutant

Bicommutant

En algèbre, le bicommutant[1] d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée X’, son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : X’’.

Propriétés

Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :

  • le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
    • X\subset X''
    • X\subset Y\Rightarrow X''\subset Y''
    • (X'')''=X''~
  • X'''=X'~, cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de
X\subset X''\Rightarrow (X'')'\subset X' et de X'\subset(X')''.

On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :

X\subset X'' = X'''' = X'''''' = \ldots= X^{2n} = \ldots
X'=X''' = X''''' = \ldots= X^{2n-1} = \ldots

pour tout entier n ≥ 1.

Note et référence

  1. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.8

Voir aussi


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