Test t de Welch

En statistiques, le test t de Welch est une adaptation du test t de Student. Il peut être utilisé notamment pour tester statistiquement l’hypothèse d’égalité de deux moyennes avec deux échantillons de variances inégales. Il s'agit en fait d'une solution approchée du problème de Behrens-Fisher.

Formules

Le test t de Welch définit le t statistique par la formule suivante :

$t = {\overline{X}_1 - \overline{X}_2 \over \sqrt{ {s_1^2 \over N_1} + {s_2^2 \over N_2} }}\,$

où $\overline{X}$, s² et N correspondent respectivement à la moyenne d'un échantillon, à sa variance et à la taille de l'échantillon. Contrairement au test t de Student, le dénominateur n'est pas basé sur une estimation de l'ensemble des variances.

Le calcul des degrés de liberté ν associés à cette estimation de la variance est approché par l'équation de Welch-Satterthwaite :

$\nu = {{\left( {s_1^2 \over N_1} + {s_2^2 \over N_2}\right)^2 } \over {{s_1^4 \over N_1^2 \cdot \nu_1}+{s_2^4 \over N_2^2 \cdot \nu_2}}}={{\left( {s_1^2 \over N_1} + {s_2^2 \over N_2}\right)^2 } \over {{s_1^4 \over N_1^2 \cdot \left({N_1-1}\right)}+{s_2^4 \over N_2^2 \cdot \left({N_2-1}\right)}}} .\,$

Ainsi ν_i = N_i − 1, les degrés de liberté sont associés à la nième estimation de la variance.

Test statistique

Une fois le t et ν calculés, ces statistiques peuvent être utilisés avec une distribution t pour tester l'hypothèse nulle qui stipule que les moyennes de deux populations sont égales (utilisant un test bilatéral), ou l'hypothèse nulle stipulant que la moyenne d'une population est plus grande ou égale à une autre (utilisant un test unilatéral). Lorsque le test est réalisé, celui-ci donne une p-value qui permettra de rejeter ou non l'hypothèse nulle.

Notes et références

• (en) Welch B. L., « The generalization of "Student's" problem when several different population variances are involved », dans Biometrika, vol. 34, n^o 1/2, 1947, p. 28-35 [lien DOI] 
• (en) Test t avec correction de Welch
• (en) Sawilowsky S. S., « Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When σ₁ ≠ σ₂ », dans Journal of Modern Applied Statistical Methods, vol. 1, n^o 2, 2002, p. 461-472 [texte intégral] 

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Welch's t test » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi

Article connexe

• Test t