Théorème de König (théorie des ensembles)

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Le théorème de König en théorie des ensembles est dû au mathématicien hongrois Julius König (1849-1913).

Théorème de König

Il se démontre à l'aide de l'axiome du choix (auquel il est en fait équivalent) et s'énonce ainsi :

Théorème — Soient $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de cardinaux indexées par un même ensemble I telles que pour tout élément i de I, a_i < b_i. On a alors :

$\qquad \sum_{i\in I} a_i < \prod_{i\in I} b_i$.

Corollaire

Il s'énonce ainsi :

Corollaire — La puissance du continu n'est pas la somme d'une famille dénombrable de cardinaux strictement plus petits.

Dans le système ZFC (de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), ce théorème est le résultat le plus fin concernant la taille du continu.