Théorème d'Euler (triangle)

Théorème

Le théorème suivant relatif au triangle quelconque est attribué à Leonhard Euler.

• La distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit étant notée d,
• Les rayons des cercles inscrit et circonscrit étant notés respectivement r et R

On a

$d^2=R (R-2r) \,$

Il résulte en particulier de ce théorème que l'inégalité suivante est également toujours satisfaite :

$R \ge 2r.$

Démonstration

Soit ABC le triangle, omega Ω le centre du cercle circonscrit, et I celui du centre du cercle inscrit.

La droite AI coupe le cercle circonscrit en L. Soit M le point diamétralement opposé à L sur ce cercle.

Soit D le pied de la perpendiculaire menée de I sur AB. C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a ID = r.

Les angles LAB et LMB sont égaux, puisqu'ils soutiennent le même arc capable. Les triangles IAD et LBM sont donc semblables puisqu'ils ont deux angles égaux.

On en déduit : $\overline{ID} / \overline{LB} = \overline{AI} / \overline{ML}$,

d'où $\overline{ML} \cdot \overline{ID} = \overline{AI} \cdot \overline{LB}$,

et par conséquent : $2 R r = \overline{AI} \cdot \overline{LB}$.

Le triangle BIL est isocèle, et par conséquent BL = BI, et : $2 R r = \overline{AI} \cdot \overline{LI}$.

Soient maintenant P et Q les points d'intersection de IΩ avec le cercle circonscrit.

En exprimant de deux manières différentes la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit, on obtient :

$\overline{PI} \cdot \overline{QI} = \overline{AI} \cdot \overline{LI} = 2 R r$.

Par conséquent : $(R+d) \cdot (R-d) = 2 R r$

Soit encore: $R^2 - d^2 = 2 R r \,$

et :$d^2 = R^2 - 2 R r = R (R-2r)\,$

Ce qu'il fallait démontrer.