Théorème d'extension de Kolmogorov

En probabilité, le théorème d'extension de Kolmogorov (aussi appelé théorème d'existence de Kolmogorov ou théorème de consistance de Kolmogorov, est un théorème qui garantit l'existence d'un processus stochastique dont on impose les lois fini-dimensionnelles (en), si elles sont consistantes.

Énoncé

Soit I un ensemble utilisé pour l'indexation, et $(E, \mathcal{E})$ un espace mesurable. On se donne un ensemble de mesures de probabilité π_J avec J une famille finie ordonnée de I, sur l'espace $(E^J,\mathcal E^J)$.

Notons alors pour $I \supset J \supset K$ la projection canonique de J sur K, p_JK.

Ainsi si pour tout $K \subset J$ on a $\pi_J = \pi_K \circ p_{JK}^{-1}$ alors il existe un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ et un processus stochastique $X : T \times \Omega \to\R^n$ tel que

$\mathbb P (X_J \in A) = \pi_J(A)$ pour tout $A \in \Epsilon ^J$ et J un sous ensemble fini de I.