Théorème de Kurschak

En arithmétique, le théorème de Kurschak énonce que les tranches de la série harmonique ne sont jamais entières, sauf si on ne considère que le premier terme.

Énoncé

Théorème — Si m et n sont deux entiers naturels, alors $\sum_{i=m}^{n} \frac{1}{i} \in \mathbb{N}$ si, et seulement si, m = n = 1^[1].

Démonstration

Il est clair que pour m = n = 1, on obtient une valeur entière. Supposons maintenant $n \geqslant 2$. Si m = n, le problème est résolu puisque $\frac{1}{n}$ n'est pas entier. Supposons donc m < n et considérons $\alpha = max \{ v_2(k), m \leqslant k \leqslant n \}$ (où v₂ désigne la valuation 2-adique). On a $\alpha \geqslant 1$, car il y a au moins un entier pair entre m et n. En fait, le maximum α est atteint en un unique nombre. En effet, s'il existait k = 2^α(2r + 1) < k' = 2^α(2s + 1) compris entre m et n, alors 2^α(2r + 2) = = 2^{α + 1}(r + 1) est compris entre m et n et sa valuation 2-adique est supérieure à α, ce qui contredit la définition de α.

On en conclut que $\sum_{i=m}^{n} \frac{1}{i} \in \mathbb{N}$ s'écrit sous la forme $\frac{A}{B2^{\alpha}}$, où A et B sont impairs, donc n'est pas entière.

Historique

Une version affaiblie de ce résultat, correspondant au cas où m = 1, a été prouvée en 1915 par Taeisinger. Kurschak a ensuite traité le cas général en 1918^[1].

Notes et références

1. ↑ ^{a et b} Exercices de mathématiques, oraux x-ens : algèbre 1, Cassini, 2007 (ISBN 978-2-84225-132-1), p. 138