Ultraproduit

Ultraproduit

En mathématiques, un ultraproduit est une construction utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés que ceux-ci.

Sommaire

Définition

La méthode générale de construction d'ultraproduits part d'un ensemble d'indices I, d'une structure Mi pour chaque élément i de I (toutes ayant la même signature), et d'un ultrafiltre U sur I. Le choix usuel est de prendre I infini et U non-trivial, c'est-à-dire ne contenant aucune partie finie de I (sinon, l'ultraproduit est isomorphe à l'un de ses facteurs).

Les opérations algébriques sur le produit cartésien

\prod_{i \in I} M_i

sont définies de la manière habituelle (par exemple, pour une opération (binaire) +, (a + b) i = ai + bi ), et on définit une relation d'équivalence compatible avec les opérations par a ~ b si et seulement si

\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\}\in U.

Alors, l'ultraproduit de cette famille (par rapport à U) est l'ensemble quotient du produit cartésien pour cette relation d'équivalence, muni de la structure quotient (c'est-à-dire que ses éléments sont les classes d'équivalence du produit). C'est pourquoi on le note parfois

\prod_{i\in I}M_i / U .

On peut définir une mesure m (finiment additive) sur l'ensemble des indices en posant m(A) = 1 si AU et m(A)= 0 sinon. Alors deux éléments du produit cartésien sont équivalents s'ils sont égaux presque partout sur l'ensemble des indices.

Outre les opérations algébriques, les relations peuvent être étendues de la même manière : R([a1],…,[an]) si et seulement si

\left\{ i \in I: R^{M_i}(a^1_i,\dots,a^n_i) \right\}\in U,

où [a] désigne la classe d'équivalence de a pour la relation ~. Par exemple, si tous les Mi sont des corps ordonnés, il en est de même de l'ultraproduit.

Une ultrapuissance est un ultraproduit pour lequel tous les facteurs Mi sont égaux :

M^\kappa/U=\prod_{\alpha<\kappa}M/U.\,

Plus généralement, la construction précédente peut encore être effectuée si U est seulement un filtre sur X ; la structure résultante \prod_{i\in I}M_i / U est appelée un produit réduit.

Exemples et applications

Les nombres hyperréels sont l'ultraproduit d'une famille dénombrable de copies de R (l'ensemble des nombres réels), pour un ultrafiltre non trivial sur l'ensemble des entiers. L'ordre est une extension de celui de R, ainsi, la suite ω donnée par ωi = i définit une classe d'équivalence (un nombre hyperréel noté encore ω) plus grand que tout réel (un "infiniment grand"), et la suite \epsilon donnée par \epsilon_i=1/i (pour i\ge1, et \epsilon_0=0) définit une classe d'équivalence égale à 1/ω, positive, et plus petite que tout réel (un "infiniment petit"). De façon analogue, on peut construire des entiers ou des complexes non-standards, en prenant une ultrapuissance des ensembles correspondants.

Dans l'étude des grands cardinaux, une construction fréquente consiste à prendre un ultraproduit de tout l'univers (un modèle de la théorie des ensembles) par rapport à un ultrafiltre U bien choisi. Les propriétés de U ont une grande influence sur les propriétés (d'ordre supérieur) de l'ultraproduit ; par exemple, si U est σ-complet, l'ultraproduit sera bien-fondé (si l'univers l'était). Voir cardinal mesurable pour l'exemple de référence.

Parmi les applications les plus frappantes des ultraproduits figurent des preuves très élégantes du théorème de compacité et du théorème de complétude, le théorème de Keisler, qui donne une caractérisation algébrique de la notion sémantique d'équivalence élémentaire, et la présentation (par Robinson et Zakon) de l'utilisation de superstructures et de leurs monomorphismes pour construire des modèles non standards, amenant à la construction, par Abraham Robinson, d'une version de l'analyse non-standard fondée sur le théorème de compacité.

Le théorème de Łoś

Jerzy Łoś, vers 1955

Le théorème de Łoś, parfois appelé théorème fondamental des ultraproduits, est dû à Jerzy Łoś (en) (prononcer ˈwɔɕ, approximativement ouosh). Il affirme que toute formule du premier ordre est vraie dans l'ultraproduit si et seulement si l'ensemble des indices i tels que la formule soit vraie dans Mi est un élément de U. Plus précisément :

Soit σ une signature, U un ultrafiltre sur un ensemble I, et pour chaque  i \in I soit Mi une σ-structure. Soit M l'ultraproduit des Mi par rapport à U, c'est-à-dire que  M = \prod_{ i\in I }M_i/U.

Alors, pour tout  a^{1}, \ldots, a^{n} \in \prod M_{i} , où  a^{k} = (a^{k}_{i})_{i \in I} , et pour chaque σ-formule ϕ

 M \models \phi[[a^1], \ldots, [a^n]] si et seulement si

 \{ i \in I : M_{i} \models \phi[a^1_{i}, \ldots, a^n_{i} ] \} \in U.

Le théorème se démontre par récurrence sur la complexité de la formule ϕ. Le fait que U soit un ultrafiltre (et pas seulement un filtre) est utilisé pour traiter le cas des négations, et l'axiome de choix est nécessaire pour celui de l'introduction d'un quantificateur existentiel.

Exemples

Soit R une relation unaire de la structure M, et *M un ultraproduit de M. Alors l'ensemble S=\{x \in M|R x\} a un analogue *S dans *M (*S est l'ensemble des (classes d'équivalence des) séquences (xi) telles que R xi est vrai pour presque tous les i), et les formules du premier ordre mettant en jeu S sont encore vraies pour *S. Par exemple, soit M les réels, et Rx la relation "x est un nombre rationnel". alors, dans M, nous savons que pour tout couple de rationnels x et y, il existe un z non rationnel avec x < z < y. Ceci pouvant être traduit dans un langage du premier ordre, le théorème de Łoś implique que *S a la même propriété, autrement dit, qu'on peut définir des hyperrationnels et qu'entre deux hyperrationnels, il existe toujours un hyperréel non hyperrationnel. En revanche, l'axiome d'Archimède[1](qui équivaut à dire qu'il n'y a pas de réel x tel que x > 1, x > 1 +1 , x > 1 + 1 + 1, ... pour toutes les inégalités de cette liste infinie) ne peut être traduit dans un langage du premier ordre, et le théorème de Łoś ne s'applique pas : on a d'ailleurs vu plus haut que l'hyperréel ω ne satisfait pas l'axiome d'Archimède sous cette forme. En revanche, si on définit l'ensemble des hyperentiers *N (dont ω fait partie), le théorème de Łoś garantit bien qu'il n'existe aucun hyperréel supérieur à tous les hyperentiers. Enfin, s'il reste vrai, grâce au théorème de Łoś, que, par exemple, tout hyperentier est soit pair, soit impair, il n'est pas possible en général de savoir ce qu'il en est pour un hyperentier donné ; ainsi, ω est pair si et seulement si l'ensemble des nombres pairs appartient à U.

Ultralimites

Article détaillé : Ultralimite.

Ce terme s'emploie surtout pour un ultraproduit d'une suite d'espaces métriques ; pour cette signification, voir l'article détaillé Ultralimite.

En théorie des modèles, une ultralimite (ou ultraproduit limitant) est une limite inductive d'une suite d'ultrapuissances : partant d'une structure, A0, et d'un ultrafiltre, D0, on forme l'ultrapuissance A_1=\prod A_0/D, puis on recommence pour former A_2=\prod A_1/D, etc. Pour chaque n, il y a une injection canonique (diagonale) A_n\to A_{n+1}. On peut continuer transfiniment en prenant la limite inductive des étapes précédant les ordinaux limites.

Notes

  1. La forme traditionnelle de cet axiome ("deux grandeurs sont toujours commensurables") revient en langage moderne à affirmer qu'il n'existe pas de réel supérieur à tout entier

Références

  • (en) Stanley N. Burris, A Course in Universal Algebra, 2000 [lire en ligne] 

Voir aussi




Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ultraproduit de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • MODÈLES (THÉORIE DES) — «Modèle» est un terme qui appartient au vocabulaire de la plupart des sciences et qui a des significations multiples [cf. MODÈLE]. Ainsi, dans les sciences humaines, on entend généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble… …   Encyclopédie Universelle

  • Construction des nombres réels — En mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont les coupures de Dedekind, les suites de Cauchy. Sommaire 1 Construction intuitive à partir des nombres décimaux 2 Construction par les… …   Wikipédia en Français

  • Ultrafiltre — En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un ultrafiltre sur un ensemble X est une collection de sous ensembles de X qui est un filtre, et qui n est pas contenue dans un filtre plus grand. On peut considérer un ultrafiltre… …   Wikipédia en Français

  • Cardinal mesurable — En mathématiques, un cardinal mesurable est un cardinal sur lequel existe une mesure définie pour tout sous ensemble ; cette propriété fait qu un tel cardinal est un grand cardinal. Sommaire 1 Définitions et propriétés de grand cardinal 2… …   Wikipédia en Français

  • Grand cardinal — En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un grand cardinal est un nombre cardinal transfini satisfaisant une propriété qui le distingue des ensembles constructibles avec l axiomatique usuelle (ZFC) tels que aleph zéro,… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Ultralimite — En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d espaces métriques Xn un espace métrique qui est leur limite . Cette construction est une généralisation de la convergence au sens de Hausdorff, et… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”