Théorème de factorisation (de morphismes)

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'un espace quotient X / R dans un autre espace Y à partir d'un morphisme de X vers Y.

Le cas des ensembles

Soient X un ensemble muni d'une relation d'équivalence R et $s: X\to X/R$ la surjection canonique. Soit $f : X\to Y$ une application.

Théorème —  Si pour tout couple xRx' dans X, on a f(x) = f(x'), alors il existe une unique application $g : X/R\to Y$ telle que f = gs. De plus,

• g est surjective si f est surjective ;
• g est injective si on a xRx' équivalent à f(x) = f(x') ;
• g est bijective si f est surjective et si $x R x'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')$.

Démonstration

Pour tout élément $z=s(x)\in X/R$, on pose g(z) = f(x). Si z = s(x') pour un élément x' équivalent à x, on a f(x) = f(x') par hypothèse. Donc g est bien définie.

Si f est surjective, l'égalité f = gs implique que g est aussi surjective.

Enfin supposons que xRx' est équivalent à f(x) = f(x'). Soient z₁ = s(x₁),z₂ = s(x₂) tels que g(z₁) = g(z₂). Alors f(x₁) = f(x₂), donc x₁Rx₂ et z₁ = s(x₁) = s(x₂) = z₂. Ce qui veut dire que g est injective. La dernière propriété résulte des propriétés précédentes.

Les conditions du théorème sont optimales dans le sens suivant :

• Si une factorisation de $f: X\to Y$ existe à travers $X\to X/R$, alors f(x) = f(x') dès que xRx';

• Supposons que la factorisation existe. Alors f est surjective si g l'est, et si g est injective, alors xRx' équivaut à f(x) = f(x').

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologique.

Le cas des espaces topologiques

Soient X un espace topologique muni d'une relation d'équivalence R et $s: X\to X/R$ la surjection canonique. On munit X / R de la topologie quotient. Soit $f : X\to Y$ une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple xRx' dans X, on a f(x) = f(x'), alors il existe une unique application continue $g : X/R\to Y$ telle que f = gs. De plus,

• g est surjective si f est surjective ;
• g est injective si on a xRx' équivalent à f(x) = f(x') ;
• g est ouverte (resp. fermée) si f est ouverte (resp. fermée) ;
• g est un homéomorphisme si f est surjective et ouverte ou fermée, et si $x R x' \Longleftrightarrow f(x)=f(x')$.

Démonstration

La continuité de g résulte immédiatement des propriétés générales de la topologie quotient. Pour toute partie F de X / R, on a g(F) = f(s ^{− 1}(F)), cela implique la propriété sur les applications ouvertes ou fermées.

Le cas des groupes

Sur un groupe G, on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe distingué H de G : xRx' si $x\in x'H$. Alors $s : G\to G/H=G/R$ est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit $f: G\to K$ un morphisme de groupes. Si H est contenu dans le noyau de f, alors il existe un unique morphisme de groupes $g : G/H\to K$ tel que f = gs. De plus,

• g est surjectif si f est surjectif ;
• g est injectif si on a H = Kerf ;
• g est un isomorphisme si f est surjectif et H = Kerf.

Démonstration

L'existence de g est assurée par le théorème général plus haut. Le fait que g soit un morphisme de groupes vient du fait que f,s sont des morphismes de groupe.

Si H = Kerf, alors f(x₁) = f(x₂) si et seulement si $x_1x_2^{-1}\in {\rm Ker}f=H$. Cette dernière condition équivaut à x₁Rx₂. D'après le théorème général, g est injective.

Voir aussi l'article Théorèmes d'isomorphisme.

Le cas des espaces vectoriels

On considère un espace vectoriel E et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel H: xRx' si $x-x'\in H$. Alors $s : E\to E/H=E/R$ est une application linéaire.

Théorème —  Soit $f: E\to F$ une application linéaire. Si H est contenu dans le noyau de f, alors il existe une unique application linéaire $g : E/H\to F$ telle que f = gs. De plus,

• g est surjective si f est surjective ;
• g est injective si on a H = Kerf ;
• g est un isomorphisme si f est surjectif et H = Kerf.

Le cas des anneaux

On considère un anneau A et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère I de A: xRx' si $x-x'\in I$. Alors $s : A\to A/I=A/R$ est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit $f: A\to B$ un morphisme d'anneaux. Si I est contenu dans le noyau de f, alors il existe un unique morphisme d'anneaux $g : A/I\to B$ tel que f = gs. De plus,

• g est surjectif si f est surjectif ;
• g est injectif si on a I = Kerf ;
• g est un isomorphisme si f est surjectif et I = Kerf.