Théorème de prolongement de M. Riesz

Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.

Formulation

Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe (en).

Une forme linéaire

$\varphi:F\to\R$

est dite K-positive si

$\forall x\in K\cap F,\quad\varphi(x)\ge0.$

Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire

$\psi:E\to\R\quad\text{telle que}\quad\psi|_F=\varphi\quad\text{et}\quad\forall x\in K,~\psi(x)\ge0.$

Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour

$E=\C,\quad F=\R,\quad K=\R^+e^{i[0,\pi[}\quad\text{et}\quad\forall x\in\R,~\varphi(x)=x,$

φ n'a pas de prolongement K-positif.

Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :

$K+F=E.~$

Démonstration

Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E=F⊕ℝ.

Dans ce cas, étendre linéairement φ:F→ℝ en ψ:E→ℝ revient à choisir un réel a et à poser

$\forall f\in F,~\forall\lambda\in\R,~\qquad\psi(f+\lambda y)=\varphi(f)+\lambda a.$

En considérant les f + λy qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur a pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors :

$\sup\varphi((y-K)\cap F)\le a\le\inf\varphi((y+K)\cap F).$

(Remarquons que comme y et − y appartiennent à E=K+F=K-F par hypothèse, les deux ensembles φ((y-K)∩F) et φ((y+K)∩F) sont non vides, si bien que le sup du premier appartient à $\scriptstyle]-\infty,+\infty]$ et l'inf du second à $\scriptstyle[-\infty,+\infty[$.)

Le choix d'un tel réel a est donc possible dès que

$\forall f,f'\in F,\qquad\text{si}\quad y-f\in K\quad\text{et}\quad f'-y\in K\qquad\text{alors}\quad\varphi(f)\le\varphi(f')$

et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur f' − f appartient à F∩K.

Corollaire : théorème de prolongement de Krein

Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et x un vecteur tel que

$K+\R x=E\qquad\text{et}\qquad x\notin -K.$

Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ(x) = 1.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « M. Riesz extension theorem » (voir la liste des auteurs)
• M. Riesz, « Sur le problème des moments : troisième note », dans Ark. Mat. Astronom. Fys., vol. 17, n° 16, 1923
• (en) N. I. Akhiezer (en), The classical moment problem and some related questions in analysis, traduit du russe par N. Kemmer, Hafner, 1965

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