Théorème du complément normal de Burnside

En mathématiques, le théorème du complément normal de Burnside est un théorème de théorie des groupes qui s'énonce comme suit : si G est un groupe fini, si P est un sous-groupe de Sylow de G, si P est contenu dans le centre de son normalisateur N_G(P) (autrement dit si le normalisateur N_G(P) de P se réduit au centralisateur C_G(P) de P), alors P admet un complément normal dans G^[1].

Puisque P est un sous-groupe de Sylow de G, tout complément de P dans G est un sous-groupe de Hall de G. Comme tout sous-groupe de Hall normal d'un groupe fini G est caractéristique dans G, le complément normal dont le théorème de Burnside assure l'existence est caractéristique. On pourrait donc parler du théorème du complément caractéristique de Burnside.

Remarque. L'hypothèse selon laquelle P est contenu dans le centre de N_G(P) entraîne évidemment que P est commutatif. On ajoute souvent ce fait aux hypothèses dans l'énoncé du théorème.

Notes et références

1. ↑ Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction of the Theory of Groups, 4^e édition, tirage de 1999, p. 196.