Théorème du sandwich (variante)

Ceci est une version alternative du théorème du sandwich qui concerne les dérivées (ou différentielles) de fonctions, si vous cherchiez un théorème sur un passage à la limite référez vous plutôt à l'article théorème des gendarmes.

Énoncé (cas d'une fonction réelle)

Théorème du sandwich —  Soit I un intervalle contenant le réel a. Soient m et M deux fonctions réelles définies sur l'intervalle I et dérivables en a et f une fonction de I dans $\mathbb R$.

on suppose que

1) $\forall x \in I$ , $\ m(x)\le f(x) \le M(x)$

2) m(a) = f(a) = M(a)

3) m'(a) = M'(a)

alors f est dérivable en a et on a $f'(a) = m'(a) \ (= M'(a))$

Énoncé (cas général)

Théorème du sandwich —  Soit V un voisinage d'un vecteur a de $\mathbb R^n$. Soient m et M deux applications réelles définies sur V et différentiables en a et $f : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$

on suppose que

1) $\forall x \in V$ , $\ m(x)\le f(x) \le M(x)$

2) m(a) = f(a) = M(a)

3) dm_a = dM_a

alors f est différentiable en a et on a $df_a = dm_a \ (= dM_a)$

Démonstration (du cas général)

Pour h suffisamment petit on a :

$m(a+h) \le f(a+h) \le M(a+h)$

d'où (par la seconde hypothèse) $m(a+h) - m(a) \le f(a+h) - f(a) \le M(a+h) - M(a)$

donc $f(a+h) = f(a) + dm_a(h) + o( \parallel h \parallel)$

d'où résultat.