Topologie de l'ordre

En mathématiques, la topologie de l'ordre est une topologie naturelle définie sur tout ensemble ordonné (E,≤), et qui dépend de la relation d'ordre ≤.

Lorsque l'on définit la topologie usuelle de la droite numérique $\R$, deux approches équivalentes sont possibles. On peut se baser sur la relation d'ordre dans $\R$, ou sur la valeur absolue de la distance entre deux nombres. L'égalité ci-dessous permet de passer de l'une à l'autre :

$[x-r,x+r] = \{t\in\mathbb R\mid x-r\leq t\leq x+r\}=\{t\in\mathbb R\mid |x-t|\leq r\}$

La valeur absolue se généralise à la notion de distance et induit le concept de topologie d'un espace métrique. Cette approche est très vulgarisée et nous nous intéressons ici à l'autre approche.

Topologie de l'ordre

Soit (E,≤) un ensemble ordonné.

Appelons intervalle ouvert de E un intervalle de la forme ]x, y[ pour deux éléments quelconques x et y de E, de la forme $]x,+\infty[$ pour un élément x de E, ou de la forme $]-\infty,x[$ pour un élément quelconque x de E.

On appelle alors topologie de l'ordre, la topologie admettant les intervalles ouverts comme prébase, c'est-à-dire la topologie la moins fine pour laquelle les intervalles ouverts sont ouverts.

Du fait que $]x,y[ =]x,+\infty[\cap]-\infty,y[$, les intervalles ouverts admettant une borne infinie forment une prébase de la topologie de l'ordre.

Si l'ordre sur E est partiel, cette topologie est assez amusante et peut servir à fabriquer des contre-exemples.

Lorsque (E,≤) est totalement ordonné, l'intersection de deux intervalles ouverts est toujours un intervalle ouvert. La topologie de l'ordre est alors engendrée par les intervalles ouverts, autrement dit, les intervalles ouverts forment une base de la topologie ; en clair : une partie de E est ouverte si et seulement si elle est une réunion d'intervalles ouverts. Cette topologie est alors séparée.

Topologie droite

Soit (E,≤) un ensemble ordonné.

Commençons par remarquer que $[x,+\infty[\cap[y,+\infty[ = \cup_{x\leq t\ et\ y\leq t} [t,+\infty[$

Les intervalles de la forme $[x,\infty[$ forment donc une base pour une topologie sur E, appelée parfois topologie de l'ordre à droite ou topologie droite.

Cette topologie n'est en général pas séparée. Par exemple, si E admet un plus grand élément ω, tout élément de E est adhérent à {ω}. Elle vérifie cependant l'axiome de séparation T₀ (le plus faible de tous). En d'autres termes : E muni de cette topologie est un espace de Kolmogorov.

La topologie droite est caractérisée par cette propriété de séparation et par le fait que toute intersection d'ouverts est un ouvert. En effet, un espace de Kolmogorov dans lequel toute intersection d'ouverts est un ouvert possède la topologie droite déterminée par l'ordre $x\leq x' \Leftrightarrow x\in\overline{\{x'\}}$.

Une autre propriété remarquable de la topologie droite, c'est qu'elle permet de caractériser les fonctions croissantes. En effet, soit E et F deux ensembles ordonnés ainsi qu'une application f de E dans F. Alors f est croissante si et seulement si elle est continue pour les topologies droites de E et de F.

Topologie stricte à droite

Lorsque (E,≤) un ensemble totalement ordonné, on peut définir une variante de la topologie ci-dessus.

L'ordre étant total, les intervalles de la forme $]x,\infty[$ forment une base pour une topologie, variante de la topologie ci-dessus et avec des propriétés voisines.

Exemples

• La topologie de l'ordre sur $(\R,\le)$ est la topologie usuelle.
• La topologie de l'ordre sur $(\N,\le)$ est la topologie discrète (c'est aussi la topologie usuelle).
• Si X est une partie d'un ensemble ordonné E, la topologie induite sur X par la topologie de l'ordre sur E n'est autre que la topologie de l'ordre induit sur X par l'ordre de E.
• La topologie de l'ordre associé à la relation de divisibilité sur $\N^*$ est la topologie discrète.
• Par contre, du fait que pour la relation de divisibilité, 0 est le plus grand élément de $\mathbb N$, la topologie de l'ordre associé à la relation de divisibilté sur $\N$ n'est autre que le compactifié d'Alexandrov de $\N^*$ muni de la topologie discrète.

Propriétés

• Un ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre est compact si et seulement si c'est un treillis complet^[1], c'est-à-dire si toute partie admet une borne supérieure (ou ce qui est équivalent, si toute partie admet une borne inférieure).
• En particulier, pour tout ordinal α, le segment d'ordinaux [0,α] est compact. En notant Ω le plus petit ordinal non dénombrable, l'intervalle d'ordinaux [0,Ω[ est séquentiellement compact mais non compact.

Note et références

1. ↑ Steen et Seebach, p. 67

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Topologie générale, chap. 1-4
• (en) Lynn Steen (en) et J. Arthur Seebach, Jr. (en), Counterexamples in Topology (en), Dover, 1995 (ISBN 978-0-486-68735-3) [lire en ligne] 

Articles connexes

• Longue droite
• Droite de Sorgenfrey (en)