Ultralimite

En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d'espaces métriques X_n un espace métrique qui est leur "limite". Cette construction est une généralisation de la convergence au sens de Hausdorff, et utilise un ultrafiltre pour éviter d'avoir à considérer des sous-suites convergentes.

Pour la limite inductive d'une suite d'ultraproduits, voir Ultraproduit.

Ultrafiltres

Article détaillé : Ultrafiltre.

Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble des entiers $\mathbb N$ est une mesure finiment additive^[1] $\omega:2^{\mathbb N}\to \{0,1\}$, allant de l'ensemble des parties $2^{\mathbb N}$ (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de $\mathbb N$) vers l'ensemble {0,1}, telle que $\omega(\mathbb N)=1$. Un ultrafiltre ω sur $\mathbb N$ estt non-trivial si, pour tout sous-ensemble fini $F\subseteq \mathbb N$, on a ω(F)=0.

Limite d'une suite relativement à un ultrafiltre

Article détaillé : Filtre (mathématiques).

Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur $\mathbb N$. Si $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si x ∈ X, on dit que la suite est ω-convergente vers le point x, appelé la ω -limite de x_n, et noté x = lim _ωx_n, si pour tout ε > 0 on a :

$\omega\{n: d(x_n,x)\le \epsilon \}=1.$

Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer :

• si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique.
• si $x=\lim_{n\to\infty} x_n$ au sens usuel, $x=\lim_\omega x_n$. (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.)

Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition^[2]) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de $\mathbb R$ est compact.

Ultralimite d'espaces métriques pointés

Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb N$. Soit (X_n,d_n) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base p_n∈X_n.

On dira qu'une suite $(x_n)_{n\in\mathbb N}$, où x_n∈X_n, est admissible si la suite des nombres réels (d_n(x_n,p_n))_n est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que $d_n(x_n,p_n)\le C$. Notons $\mathcal A$ l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles $\mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N}$ et $\mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}$, la suite (d_n(x_n,y_n))_n est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers $\hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y):=\lim_\omega d_n(x_n,y_n)$. Définissons alors sur l'ensemble $\mathcal A$ une relation ∼ de la manière suivante : pour $\mathbf x, \mathbf y\in \mathcal A$, on a $\mathbf x\sim\mathbf y$ si $\hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y)=0.$ Il est facile de voir que ∼ est une relation d'équivalence sur $\mathcal A.$

L'ultralimite de la suite (X_n,d_n, p_n) relativement à ω est un espace métrique $(X_\infty, d_\infty)$ défini de la manière suivante ^[3] :

$X_\infty=\mathcal A/\sim$ (en tant qu'ensemble).

Pour deux classes d'équivalence (relativement à ∼) $[\mathbf x], [\mathbf y]$ contenant les suites admissibles $\mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N}$ et $\mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}$, on pose

$d_\infty([\mathbf x], [\mathbf y]):=\hat d_\infty(\mathbf x,\mathbf y)=\lim_\omega d_n(x_n,y_n).$

Il n'est pas difficile de voir que $d_\infty$ est bien définie (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas des représentants $\mathbf x$ et $\mathbf y$ choisis), et que c'est une distance sur $X_\infty$ ; on note $(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n, p_n)$ l'ultralimite de la suite.

Le cas des espaces uniformément bornés

Supposons que (X_n,d_n) soit une suite d'espaces métriques de diamètre uniformément bornés, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel C>0 tel que diam(X_n)≤C pour tout $n\in \mathbb N$ (autrement dit, pour tout n et tout couple $(x_n,y_n)\in X_n^2$, on a d_n(x_n,y_n) < C). Alors, pour tout choix de points de base p_n dans X_n, toutes les suites $(x_n)_n, x_n\in X_n$ sont admissibles. Dans ce cas, le choix des points de base n'a pas à être spécifié pour définir une ultralimite, et l'ultralimite $(X_\infty, d_\infty)$ dépend seulement de (X_n,d_n) et de ω ; on écrit alors $(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n)$.

Propriétés de base des ultralimites

1. Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques géodésiques^[4], alors $(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n, d_n, p_n)$ est aussi géodésique.
2. Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques complets, $(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n, p_n)$ est également complet^[5].
3. Si (X_n,d_n) est une suite d'espaces compacts qui converge (au sens de Hausdorff) vers un espace (X,d), ce qui implique que les (X_n,d_n) sont de diamètre uniformément borné, alors l'ultralimite $(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n)$ est isométrique à (X,d).
4. Si les (X_n,d_n)sont des espaces métriques propres^[6], et si $p_n\in X_n$ sont des points de base tels que la suite (X_n,d_n,p_n) converge (au sens de Hausdorff) vers un espace métrique propre (X,d), alors l'ultralimite $(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n,p_n)$ est isométrique à (X,d)^[7].
5. Soient κ≤0 et (X_n,d_n) une suite de arbre réel^[7].

Cônes asymptotiques

Les cônes asymptotiques d'espaces métriques forment une importante classe d'ultralimites. Soit (X,d) un espace métrique, ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb N$, et p_n ∈ X une suite de points de base. Alors l'ultralimite (relativement à ω) de la suite $(X, \frac{d}{n}, p_n)$ s'appelle le cône asymptotique de X et se note $Cone_\omega(X,d, (p_n)_n)\,$. On choisit souvent la suite des points de base constante : p_n=p pour un p fixé de X ; dans ce cas le cône asymptotique ne dépend pas de p et est noté $Cone_\omega(X,d)\,$ ou simplement $Cone_\omega(X)\,$.

Cette construction joue un rôle important dans la théorie géométrique des groupes, car les cônes asymptotiques (ou plus précisément leurs types topologiques et leurs types lipschitziens) fournissent des invariants quasi-isométriques^[8] des espaces métriques en général et des groupes à nombre fini de générateurs en particulier^[9]. Les cônes asymptotiques se sont également révélés utiles dans l'étude des groupes relativement hyperboliques (en) et de leurs généralisations^[10].

Exemples

1. Soit (X,d) un espace métrique compact ; posons (X_n,d_n)=(X,d) pour chaque $n\in \mathbb N$. Alors l'ultralimite $(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n)$ est isométrique à (X,d).
2. Soient (X,d_X) et (Y,d_Y) deux espaces métriques compacts distincts et soit (X_n,d_n)une suite telle que pour tout n on ait (X_n,d_n)=(X,d_X) ou (X_n,d_n)=(Y,d_Y). Soit $A_1=\{n | (X_n,d_n)=(X,d_X)\}\,$ et $A_2=\{n | (X_n,d_n)=(X,d_X)\}\,$. Alors A₁, A₂ sont disjoints et $A_1\cup A_2=\mathbb N.$ Par conséquent, l'un des A₁, A₂ est de ω-mesure 1 et l'autre a pour ω-mesure 0. Donc lim _ω(X_n,d_n) est isométrique à (X,d_X) si ω(A₁)=1 et est isométrique à (Y,d_Y) si ω(A₂)=1. Cela montre que l'ultralimite peut dépendre du choix de l'ultrafiltre ω.
3. Soit (M,g) une variété riemannienne compacte connexe de dimension m, où g est une métrique riemannienne sur M. Soit d la métrique sur M correspondant à g ; (M,d) est alors un espace métrique géodésique^[4]. Choisissons un point de base p∈M. Alors l'ultralimite (et même la limite ordinaire au sens de Hausdorff) lim _ω(M,nd,p) est isométrique à l'espace tangent T_pM de M à p, la distance sur T_pM étant donnée par le produit scalaire g(p). Ainsi, l'ultralimite lim _ω(M,nd,p) est isométrique à l'espace euclidien $\mathbb R^m$ muni de la distance usuelle^[11].
4. Soit $(\mathbb R^m, d)$ l'espace euclidien usuel à m dimensions. Alors le cône asymptotique $Cone_\omega(\mathbb R^m, d)$ est isométrique à $(\mathbb R^m, d)$.
5. Soit $(\mathbb Z^2,d)$ le réseau entier de dimension 2 avec la distance entre deux points du réseau donnée par la longueur du plus court chemin les reliant. Alors le cône asymptotique $Cone_\omega(\mathbb Z^2, d)$ est isométrique à $(\mathbb R^2, d_1)$, où $d_1\,$ est la distance de Manhattan sur $\mathbb R^2$, connue aussi sous le nom de norme 1 : $d(x,y)=\|x-y\|_1$.
6. Soit (X,d) un espace métrique géodésique δ-hyperbolique (en), avec δ ≥ 0. Alors le cône asymptotique $Cone_\omega(X)\,$ est un arbre réel^[7],[12].
7. Soit (X,d) un espace métrique de diamètre fini. Alors $Cone_\omega(X)\,$ est réduit à un point.
8. Soit (X,d) un CAT(0)-espace métrique. Alors $Cone_\omega(X)\,$ est aussi un CAT(0)-espace^[7].

Notes

1. ↑ En fait, un ultrafiltre U est un sous-ensemble de l'ensemble des parties $2^{\mathbb N}$ (qui est un filtre maximal) ; la mesure ω considérée ici est la fonction caractéristique d'un tel U.
2. ↑ On dit qu'un filtre est convergent vers x s'il est plus fin que le filtre des voisinages de x ; avec cette définition, un espace est compact si et seulement si tout ultrafiltre sur cet espace est convergent, et si l'espace est séparé, la limite est unique.
3. ↑ John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Definition 7.19, p. 107.
4. ↑ ^{a et b} C'est-à-dire que par deux points passe toujours une géodésique minimisant la distance.
5. ↑ L.Van den Dries, A.J.Wilkie, On Gromov's theorem concerning groups of polynomial growth and elementary logic. Journal of Algebra, Vol. 89(1984), pp. 349–374. (en)
6. ↑ Un espace métrique est propre si toute boule ferméee est compacte
7. ↑ ^{a, b, c, d et e} M. Kapovich B. Leeb. On asymptotic cones and quasi-isometry classes of fundamental groups of nonpositively curved manifolds, Geometric and Functional Analysis, Vol. 5 (1995), no. 3, pp. 582–603. (en)
8. ↑ On dit que f est une quasi-isométrie de M₁ vers M₂ s'il existe des constantes A≥1 et B≥0 telles que $\frac{1}{A}\; d_2(f(x),f(y))-B\leq d_1(x,y)\leq A\; d_2(f(x),f(y))+B$ pour tous les $x,y\in M_1$ et une constante C≥0 telle que pour chaque u de M₂ il existe x in M₁ avec $d_2(u,f(x)) \le C.$
9. ↑ John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2
10. ↑ Cornelia Druţu et Mark Sapir (avec un appendice dû à Denis Osin et Mark Sapir), Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups. Topology , Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.
11. ↑ Yu. Burago, M. Gromov, and G. Perel'man. A. D. Aleksandrov spaces with curvatures bounded below (in Russian), Uspekhi Matematicheskih Nauk vol. 47 (1992), pp. 3–51; traduit dans : Russian Math. Surveys vol. 47, no. 2 (1992), pp. 1–58
12. ↑ John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Example 7.30, p. 118.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ultralimit » (voir la liste des auteurs)
• (en) John Roe, Lectures on Coarse Geometry, AMS, 2003 (ISBN 978-0-8218-3332-2), ch. 7
• (en) L. Van den Dries et A. J. Wilkie (en), « On Gromov's theorem concerning groups of polynomial growth and elementary logic », dans Journal of Algebra (en), vol. 89, 1984, p. 349-374
• (en) M. Kapovich et B. Leeb, « On asymptotic cones and quasi-isometry classes of fundamental groups of nonpositively curved manifolds », dans GAFA (en), vol. 5, n° 3, 1995, p. 582-603
• (en) M. Kapovich, Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups, Birkhäuser (de), 2000 (ISBN 978-0-8176-3904-4), ch. 9
• (en) Cornelia Druţu (en) et Mark Sapir (Appendix : Denis Osin et Mark Sapir), « Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups », dans Topology (en), vol. 44, n° 5, 2005, p. 959-1058
• (en) M. Gromov, Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces, Progress in Mathematics, vol. 152, Birkhäuser, 1999 (ISBN 0817638989), ch. 3
• (en) B. Kleiner et B. Leeb, « Rigidity of quasi-isometries for symmetric spaces and Euclidean buildings », dans Publ. Math. IHES, vol. 86, n° 1, décembre 1997, p. 115-197

Voir aussi

• Ultrafiltre
• Théorie géométrique des groupes
• Distance de Hausdorff