Volatilité stochastique

La volatilité stochastique est utilisée dans le cadre de la finance quantitative, pour évaluer des produits dérivés, tels que des options. Le nom provient du fait que le modèle traite la volatilité du sous-jacent comme un processus aléatoire, fonction de variable d'états telles que le prix du sous-jacent, la tendance qu'à la volatilité, à moyen terme, à faire revenir le prix vers une valeur moyenne, la variance du processus de la volatilité, etc.

Les modèles de volatilité stochastiques présentent l'une des approches pour résoudre l'une des lacunes du modèle Black-Scholes, qui ne prend pas en compte le fait que la volatilité sous-jacente peut ne pas être constante, pendant le temps de vie du produit dérivé, et que celui-ci est affecté par le changement de valeur du sous-jacent.

Cependant, ces modèles ne peuvent expliquer certaines caractéristiques bien connues de la volatilité implicite, telles que le smile de volatilité, ou le biais de volatilité, qui indique que la volatilité implicite a tendance à varier en accord avec le prix d'exercice et la date d'expiration du dérivé.

En supposant que la volatilité du prix du sous-jacent est un processus stochastique, plutôt qu'une constante, il devient possible de modéliser les produits dérivés avec plus de précision.

Modèle

Dans le modèle à volatilité constante, nous supposons que le prix du produit dérivé suit un mouvement Brownien géométrique standard :

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \,$

où $\mu \,$ est le drift constant(i.e. le retour espéré) du prix du sous-jacent, $S_t \,$, $\sigma \,$ est la volatilité constante, et $dW_t \,$ est une gaussian standard de moyenne null et d'écart type unitaire. La solution explicite de cette équation différentielle stochastique est

$S_t= S_0 e^{(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2) t+ \sigma W_t}$.

L'estimation du Maximum de vraisemblance, pour la volatilité constante $\sigma \,$ dépendant des prix du marché $S_t \,$ à différentes périodes $t_i \,$ nous donne

$\hat{\sigma}^2= \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{(\ln S_{t_i}- \ln S_{t_{i-1}})^2}{t_i-t_{i-1}} \right) - \frac{1}{n} \frac{(\ln S_{t_n}- \ln S_{t_0})^2}{t_n-t_0}$;

Son espérance est $E \left[ \hat{\sigma}^2\right]= \frac{n-1}{n} \sigma^2$.

Ce modèle de base, avec un volatilité $\sigma \,$ constante est le point de départ des modèles à volatilité non-stochastique, telle que Black-Scholes et Cox-Ross-Rubinstein.

Pour un modèle à volatilité stochastique, on remplace la volatilité constante $\sigma \,$ par une fonction $\nu_t \,$, qui modélise la variance de $S_t \,$. Cette fonction de variance est aussi modélisé par un mouvement brownien, et la courbe de $\nu_t \,$ dépend du modèle de volatilité stochastique étudié.

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu_t} S_t\,dW_t \,$

$d\nu_t = \alpha_{S,t}\,dt + \beta_{S,t}\,dB_t \,$

où $\alpha_{S,t} \,$ et $\beta_{S,t} \,$ sont des fonctions de $\nu \,$ et $dB_t \,$ est une autre gaussienne, corrélé à $dW_t \,$ par un facteur de corrélation constant $\rho \,$.