Équation de Liouville

Pour l'équation de Liouville dans les systèmes dynamiques, voir Théorème de Liouville (Hamiltonien).

En géométrie différentielle, l’équation de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est une équation aux dérivées partielles non-linéaire satisfaite par le facteur conforme f d'une métrique f²(dx² + dy²) sur une surface de courbure de Gauss constante K :

$\Delta \;\log f = -K f^2,$

où Δ est l'opérateur de Laplace.

$\Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4 \frac{\partial }{\partial z} \frac{\partial f}{\partial \bar z}$

Solution générale

Dans une domaine simplement connexe Ω, la solution générale est donné par :

$u(z,\bar z) = \frac{1}{2} \ln \left( 4 \frac{ |d f(z)/ d z|^2 }{ ( 1+K |f(z)|^2)^2 } \right)$

où f(z) est une fonction localement méromorphe univalente et 1 + K | f(z) | ² quand K < 0.

Voir aussi

• Équations de Gauss-Codazzi

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville's equation » (voir la liste des auteurs)