Équation de Mathieu

En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au XIXe siècle.

Il s'agit de l' équation différentielle linéaire du second ordre ci-contre :

• $\frac {d^2x}{dt^2} + \omega^2(t) x = 0$,
• où $\omega^2(t)= \omega_o^2[1 - \epsilon_o cos(t)]$, donc périodique

Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique.

Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu.

1. Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable.
2. Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet)
3. Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques): on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin.
4. le pendule paramétrique (le botafumero par exemple) relève aussi de cette équation.
5. Les cristaux photoniques ont réactualisé ces études.

Liens externes

• Mathieu, E., « Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d’une Membrane de forme Elliptique », dans Journal des Mathématiques Pures et Appliquées, 1868, p. 137–203 
• (en) Mathieu function sur Mathworld