Équation de Navier

En mécanique des milieux continus, l’équation de Navier est l'équation qui relie la déformation d'un solide élastique linéaire isotrope aux forces appliquées.

L'équation de Navier

On note $\mathbf u \left( \mathbf x, t \right)$ le champ des déformations et $\mathbf f_v$ la force volumique qui s'exerce.

On a  :

$\rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf u}{\partial t^2} = \left( \lambda + \mu \right) \mathbf{grad} \left( \mathrm{div}\; \mathbf u \right) + \mu \Delta\mathbf u + \mathbf f_v$

où λ et μ sont les coefficients de Lamé du solide. On peut écrire cette équation en fonctions du module d'Young E et du coefficient de Poisson ν :

$\rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf u}{\partial t^2} = \frac{E}{2(1+\nu)(1-2\nu)} \mathbf{grad} \left( \mathrm{div}\; \mathbf u \right) + \frac{E}{2(1+\nu)} \Delta\mathbf u + \mathbf f_v$

Démonstration

On note $\boldsymbol\sigma~$ le tenseur des contraintes et $\boldsymbol e~$ le tenseur des déformations. La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

$\rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf u}{\partial t^2} = \mathbf {div} \boldsymbol{\sigma} + \mathbf f_v$

D'autre part, on a la loi de Hooke :

$\boldsymbol{\sigma} = \lambda \mathrm{Tr}\left( \boldsymbol e \right) \mathbf I + 2 \mu \boldsymbol e$

d'où (en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein)) :

$\begin{align} \left( \mathbf {div} \boldsymbol{\sigma} \right)_i & = \lambda \left( \mathbf {div} \left( \mathrm{Tr}\left( \boldsymbol e \right) \mathbf I \right) \right)_i + 2 \mu \left( \mathbf {div} \boldsymbol e \right)_i \\ \ & = \lambda \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \mathrm{Tr}\left( \boldsymbol e \right) \mathbf I \right)_{ij} + 2 \mu \frac{\partial e_{ij}}{\partial x_j} \\ \ & = \lambda \frac{\partial e_{ll}}{\partial x_i}+ 2 \mu \frac{\partial e_{ij}}{\partial x_j} \\ \ & = \lambda \frac{\partial^2 u_l}{\partial x_i \partial x_l}+ \mu \frac{\partial }{\partial x_j} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \\ \ &= (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_j}{\partial x_i \partial x_j}+ \mu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j ^2} \\ \ & = \left( \lambda + \mu \right) (\mathbf{grad} \left( \mathrm{div}\; \mathbf u \right))_i + \mu (\Delta\mathbf u)_i \end{align}$

ce qui donne la relation cherchée.

Notes et références

Voir aussi

Liens internes

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