Borne supérieure

Borne (mathématiques)

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Définition

Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie majorée (resp. minorée) F de E est, s'il existe, le plus petit (resp. le plus grand) majorant (resp. minorant) de F. Elle est classiquement notée sup(F) (resp. inf(F) ).

Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure.

Propriété de la borne supérieure

Un corps K possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de K possède une borne supérieure.

C'est notamment le cas du corps des réels.

$\mathbb Q$ ne possède pas cette propriété

Il suffit de montrer qu'on peut trouver une partie de $\mathbb Q$ qui ne possède pas de borne supérieure.

On considère le sous-ensemble : $A = \{x \in \mathbb Q _+ \;|\; x^2 < 2 \}$ et on montre que A ne possède pas de borne supérieure.

On remarque d'abord que tout rationnel b positif dont le carré est supérieur à 2 est un majorant de A car a² < 2 < b² conduit à a < b.

On suppose ensuite l'existence d'une borne supérieure b et on montre l'absurdité de cette supposition. Puisque 1 est élément de A, on sait que b est plus grand que 1. En comparant b² à 2, il n'existe que 3 possibilités

1. b² = 2 (impossible car b est un rationnel et que √2 n'est pas rationnel)
2. b² > 2
3. b² < 2

Pour montrer l'impossibilité du cas 2, il suffit d'exhiber,dans ce cas, un rationnel plus petit que b mais dont le carré est plus grand que 2, ce qui prouvera que b n'est pas le plus petit des majorants de A. La méthode de Héron permet d'exhiber ce rationnel : $\frac{b+2/b}{2}$

Pour montrer l'impossibilité du cas 3, il suffit d'exhiber, dans ce cas, un rationnel plus grand que b et dont le carré est plus petit que 2 ce qui prouvera que b n'est pas un majorant de A. Cette même méthode de Héron permet d'exhiber ce rationnel : $\frac{4}{b+2/b}$

Une borne supérieure de A aurait alors un carré qui ne serait ni inférieur à 2, ni supérieur à 2 ni égal à 2. Ce qui est absurde donc A ne possède pas de borne supérieure.

Exemples

• Toute partie majorée non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure.
• La borne supérieure de l'intervalle ]0,1[ est 1.
• La borne inférieure de l'intervalle ]0,1[ est 0.
• L'ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de $\mathbb Q$ qui n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb Q$
• La partie $\mathbb R_-$ de $\mathbb R$ ne possède pas de borne inférieure. Toutefois, considéré comme sous-ensemble de la droite achevée $\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,+\infty\}$, il admet $-\infty$ comme borne inférieure.
• Un treillis est un ensemble ordonné où toute paire possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Notions connexes

• Élément maximal
• Ensemble borné
• Lemme de Cousin
• Majorant
• Plus grand élément

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