Caractère d'une représentation d'un groupe fini

En mathématiques le caractère d'une représentation d'un groupe fini est un outil utilisé pour analyser les représentations d'un groupe fini.

Le caractère d'une représentation (V, ρ) d'un groupe G correspond à l'application de G dans le corps de l'espace de la représentation qui à un élément s associe la trace de l'image de s par ρ.

Cette définition n'est pas compatible avec celle des caractères d'un groupe en général qui ne prend ses valeurs que dans l'ensemble des complexes non nuls.

L'utilisation du caractère d'une représentation d'un groupe fini est essentielle pour la classification des représentations. La somme directe de représentation possède pour caractère la somme des caractère et deux représentations irréductibles différentes possèdent des caractères orthogonaux.

Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie des caractères

Définitions

• Le caractère χ_ρ de la représentation (V, ρ) est une application de G un groupe fini dans K le corps de la représentation qui à s associe la trace de ρ_s.

$\forall s \in g \quad \chi_{\rho}(s)=Tr(\rho_s)\;$

Un cas important correspond à celui où le corps K est égal à celui des nombres complexes.

Un exemple simple correspond au cas des représentations de dimension un. Il est alors possible d'identifier V à K. Le caractère apparaît comme un morphisme de groupe. Le théorème de Lagrange démontre que l'ensemble des images est inclus dans celui des racines g-ième de l'unité.

• Un caractère irréductible est le caractère d'une représentation irréductible.

Contexte

Histoire

Les travaux de Jordan avec la publication d'un livre^[1] sur les équations algébriques représentent une première analyse d'un groupe fini de matrices représentant un groupe de Galois. Frobenius démarre en 1896 l'étude de la théorie des caractères des groupes finis^[2], les caractères ne sont pas encore liés à la notion de représentation. Cette même année il communique, dans une lettre à Dedekind les caractères des représentations irréductibles des groupes symétriques d'ordre quatre et cinq.

La théorie est rapidement développée, entre 1897 et 1899 la machinerie est mise en place. Frobenius développe le produit tensoriel, les représentations induites ainsi que son théorème de réciprocité. En 1900 il détermine les caractères des groupes symétriques et l'année suivante ceux des groupes alternés.durant cette époque, Heinrich Maschke (de) (1853 1908) démontre le théorème portant maintenant son nom^[3] qui stipule que toute représentation d'un groupe fini est somme directe de représentations irréductibles.

William Burnside comprend rapidement la profondeur des travaux de Frobenius. Il utilise la théorie des caractères pour montrer^[4] qu'un groupe d'ordre pⁿ.q^m si p et q sont premiers est un groupe résoluble. Il publie en 1911 la deuxième édition d'un livre de référence^[5]. Elle formalise en une théorie le savoir de l'époque sur les groupes finis, l'édition contient les travaux sur les caractères de Frobenius.

Un autre acteur important de la théorie, Issai Schur, est un élève de Frobenius. Non seulement il travaille sur les aspects théoriques et démontre son lemme^[6], mais de plus, dans l'année 1925, il applique la théorie à la physique quantique.

La théorie est l'objet d'un large développement durant le XX^e siècle. On peut citer les travaux d'Emil Artin avec la notion de caractère virtuel, ceux de Richard Brauer avec son théorème sur les combinaisons linéaires à coefficients entiers ou encore plus récemment John Griggs Thompson, qui reçoit en 1970 une médaille Fields pour avoir démontré une vieille conjecture de Burnside annonçant que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble.

Motivation

Le théorème de Maschke démontre que si la caractéristique du corps de base ne divise pas l'ordre du groupe G étudié alors toute représentation est somme directe de représentations irréductibles.

La théorie se concentre alors sur deux points clés : comment connaître les représentations irréductibles et comment, pour une représentation donnée, connaître ses facteurs irréductibles. La théorie des caractères répond partiellement à ces deux questions.

Introduction par l'exemple

Article détaillé : Représentations du groupe symétrique d'indice trois.

Représentation de S₃ comme groupe des isométries du triangle

Considérons le polynôme P(X) = X³ + X + 1, à coefficients dans le corps Q des rationnels. La théorie montre qu'il existe un espace vectoriel V sur Q de dimension six et que le groupe de Galois G opère sur V. Plus précisément, G est un groupe d'automorphismes de V isomorphe à S₃. La difficulté réside maintenant dans le fait que la dimension de l'espace est égale à six. Le groupe se représente par six matrices carrées 6x6, ce qui rend le problème plus ardu.

Recherchons dans un premier temps toutes les représentations irréductibles. Il existe un premier cas aisé, celui où V est de dimension un et identifié à C et où le morphisme t associe à tout élément de S₃ la valeur un. On parle alors de représentation triviale. Un deuxième cas σ utilise le même espace V, il associe à tout élément de S₃ sa signature, c’est-à-dire -1 si la permutation est une transposition et 1 sinon.

Le troisième cas est illustré sur la figure de gauche. L'espace vectoriel est de dimension deux et le morphisme θ associe aux trois transpositions les symétries orthogonales d'axes ceux représentés en rouge sur la figure. Les deux éléments d'ordre trois sont alors les rotations d'angles 2.π/3 et -2.π/3.

La théorie des caractères montre qu'il n'existe pas d'autre représentation irréductible de ce groupe. Il existe deux manières de s'en rendre compte, soit par la représentation régulière qui montre que l'ordre (ici égal à 6) est égal à la somme des carrés des degrés des différentes représentations irréductibles ici égal à 1 + 1 + 4, soit par les fonctions centrales qui montre que le nombre de représentations irréductibles est égal aux nombre de classes de conjugaison du groupe. Une fonction centrale est une fonction du groupe constante sur les classes de conjugaison.

Caractères du groupe symétrique d'indice trois.

Remarquons que le groupe S₃ comporte trois classes de conjugaison, celle de l'unité, celle des trois transpositions T = {t₁, t₂, t₃} et celle des deux cycles d'ordre trois C = {c₁, c₂}. Il est relativement simple de vérifier que les trois caractères sont constants sur chaque classe de conjugaison, cette propriété est générale pour tous les caractères. De plus, il existe un produit scalaire (dans le cas général un produit hermitien) tel que les caractères irréductibles forment une base orthonormale. Ce résultat est au coeur de la théorie des caractères. Dans notre cas, si Si φ et ψ sont deux fonctions centrales il est donné par :

$< \varphi \, | \, \psi> = \frac 16 \Big( \varphi (1){\psi(1)} + 3.\varphi(T)\psi(T)+ 2.\varphi(C).\psi(C) \Big)$

Ces propriétés permettent simplement de factoriser l'exemple donné sur S₃. Notons χ_t,χ_σ, χ_θ les caractères des trois représentations irréductibles et χ_ρ le caractère de la représentation du groupe de Galois. Comme, la famille des caractères irréductibles est une base, il existe trois scalaires a, b et c tel que :

$\chi_{\rho}=a.\chi_{t}+b.\chi_{\sigma}+c.\chi_{\theta}\;$

Comme la base est orthonormée, les trois coefficients sont données par les formules :

$a=<\chi_{\rho} \, | \, \chi_{t}>=1\quad b=<\chi_{\rho} \, |\, \chi_{\sigma}>=1\quad c=<\chi_{\rho} \, |\, \chi_{\theta}>=2 \;$

La figure de droite illustre les caractères du groupe S₃. Les caractères représentés par des boules orange sont les trois irréductibles, la boule bleu représente le caractère de la représentation de Galois. Elle est combinaison linaire des trois caractères irréductibles avec les coefficient un pour la triviale, un pour la signature et deux pour celle des isométries du triangle.

Premières propriétés

• Tout caractère χ d'une représentation (V,ρ) vérifie :
  • χ(1) = dim(V).
  • χ est une fonction centrale, i.e. χ(sts ^{− 1}) = χ(t), ou encore : χ(uv) = χ(vu)
  • Si deux représentations sont isomorphes alors elles ont même caractère.

La première propriété provient du fait que ρ₁ (où 1 désigne l'élément neutre de G) est égal à l'identité de V. Les deux autres sont conséquence directe des propriétés de la trace : deux matrices semblables (c’est-à-dire qui représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes) ont même trace. Sous certaines hypothèses, qui sont vérifiées lorsque K est le corps des complexes, la réciproque de la troisième propriété est vraie (cf paragraphe « Conséquences »).

• Chaque χ(s) est entier sur ℤ.

En effet, c'est la trace d'un endomorphisme ρ_s d'ordre fini. Cette trace est donc somme de racines de l'unité donc c'est un élément entier sur ℤ.

• Si le corps K est inclus dans celui des complexes et s un élément du groupe, alors l'image de s^-1 par le caractère est le conjugué de l'image de s.

La trace de ρ_s est somme de racines complexes de l'unité, qui sont donc de module 1. En conséquence, la trace de ρ_(s^-1)=(ρ_s)^-1, somme des inverses de ces complexes, est égale à la somme de leurs conjugués, ce qui démontre la proposition. (Une autre preuve, non spécifique aux groupes finis, utilise le procédé d'unitarisation.) On obtient le corollaire suivant :

• Si le corps K est inclus dans celui des réels et s un élément du groupe, alors l'image de s^-1 par le caractère est la même que celle de s.

Somme directe

Si la caractéristique de K ne divise pas g (autrement dit : si g est inversible dans K), le théorème de Maschke assure que toute représentation de G est somme directe de représentations irréductibles. Ceci permet d'exprimer son caractère comme somme de caractères irréductibles, grâce à la proposition suivante :

• Le caractère de la somme directe de deux représentations (V, ρ) et (V',ρ') d'un groupe G est la somme des caractères des deux représentations.

En effet, si s est un élément de G, R_s et R_s' les matrices de ρ_s et ρ'_s dans des bases B et B' ,alors la réunion des deux bases est une base de V⊕V'. Dans cette base, la matrice S_s de ρ⊕ρ'_s prend la forme :

$S_s=\begin{pmatrix} R_s & 0 \\ 0 & R'_s \end{pmatrix}$

L'égalité sur les caractères, vus comme traces de matrices, est alors évidente.

Cette proposition se généralise par récurrence au cas d'une somme directe d'un nombre fini de représentations.

Orthogonalité

Fonction centrale

Articles détaillés : Fonction centrale d'un groupe fini et Lemme de Schur.

Une fonction centrale est une application constante sur chaque classe de conjugaison du groupe. Les premières propriétés des caractères montrent que ce sont des fonctions centrales.

On montre alors (cf corollaire 4 de l'article « Lemme de Schur »), sous l'hypothèse supplémentaire que le polynôme X^g - 1 est scindé sur K (ou même seulement le polynôme X^e - 1, où e désigne l'exposant de G), que pour la forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur K^G définie par

$(f_1|f_2)=\frac1g\sum_{s\in G}f_1(s)f_2(s^{-1}),$

• Les caractères irréductibles forment une base orthonormée de l'espace vectoriel des fonctions centrales à valeur dans K.

Il en résulte :

• Le nombre de représentations irréductibles de G à équivalence près est égal au nombre h de classes de conjugaison de G.

Le groupe n'a donc sur K (à équivalence près) que h représentations irréductibles ρ₁,… ρ_h, dont les caractères χ₁, ..., χ_h forment une base orthonormée de l'espace des fonctions centrales.

Variante.

Lorsque K est un sous-corps de ℂ, il est courant, au lieu de la forme bilinéaire symétrique ci-dessus, d'utiliser sur K^G un produit hermitien :

$<f_1|f_2>=\frac1g\sum_{s\in G}f_1(s)\overline{f_2(s)}.$

Si f₂ est un caractère alors (f₁|f₂)=<f₁|f₂>, et les caractères irréductibles forment aussi, pour ce produit hermitien, une base orthonormée de l'espace des fonctions centrales.

Conséquences

Le fait que les caractères irréductibles forment une base orthonormée a des conséquences théoriques immédiates : soit ρ une représentation dont la décomposition en somme directe d'irréductibles est :

$\rho\simeq\bigoplus_{i=1}^hm_i\rho_i,$

où la notation m_iρ_i signifie :

$m_i\rho_i=\rho_i\oplus\ldots\oplus\rho_i\quad(m_i\text{ fois}).$

Alors la décomposition de son caractère χ en somme des caractères irréductibles χ₁, ..., χ_h est :

$\chi=\sum_{i=1}^hm_i\chi_i,$

et on en déduit les égalités :

$m_i=(\chi|\chi_i)\quad\text{et}\quad\sum m_i^2=(\chi|\chi).$

En particulier lorsque la caractéristique de K est nulle :

• La multiplicité m_i de la représentation irréductible ρ_i dans ρ est égale à (χ|χ_i).
• Une représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère.
• (χ|χ) est un entier.
• Cet entier vaut 1 si et seulement si ρ est irréductible.

Exemples

Groupe alterné d'indice 4

Article détaillé : Groupe alterné.

Les caractères d'un groupe sont parfois donnés sous forme de table. Comme un caractère est constant sur une classe de conjugaison, la table est donnée sur les classes de conjugaison. Celle du groupe alterné A₄ est par exemple :

Car. irr. 1 (ab)(cd) (abc) (acb) t 1 1 1 1 σ1 1 1 j j2 σ2 1 1 j2 j φ 3 -1 0 0

Un élément du type (ab)(cd) possède son inverse dans la même classe de conjugaison, la valeur du caractère est toujours réelle pour cette classe. En revanche, l'inverse de (abc) est (acb), les deux valeurs sont toujours conjuguées.

Groupe simple d'ordre 168

Article détaillé : Groupe simple d'ordre 168.

Il n'existe qu'un unique groupe simple d'ordre 168, il n'est pas abélien et correspond au deuxième groupe simple non commutatif, si ces groupes sont ordonnés à l'aide de leur ordre. On trouve la table suivante, établie dans l'article détaillé :

Car. irr. C1 C2 C3 C4 C7a C7b χ1 1 1 1 1 1 1 χ3a 3 -1 0 1 1/2.(-1 + i√7) 1/2.(-1 - i√7) χ3b 3 -1 0 1 1/2.(-1 - i√7) 1/2.(-1 + i√7) χ6 6 2 0 0 -1 -1 χ7 7 -1 1 -1 0 0 χ8 8 0 -1 0 1 1

Les cardinaux des classes de conjugaisons sont C₁ : 1, C₂ : 21, C₃ : 56, C₄ : 42, C_7a : 24, C_7b : 24. On en déduit le produit hermitien pour deux caractères χ_φ et χ_ψ, dans le cas d'une représentation complexe :

$\langle \chi_{\varphi} , \chi_{\psi}\rangle = \chi_{\varphi}(C_1)\cdot \overline{\chi_{\psi}(C_1)} + 21\chi_{\varphi}(C_2)\cdot \overline{\chi_{\psi}(C_2)} + 56\chi_{\varphi}(C_3)\cdot \overline{\chi_{\psi}(C_3)} + 42\chi_{\varphi}(C_4)\cdot \overline{\chi_{\psi}(C_4)} + 24\chi_{\varphi}(C_{7a})\cdot \overline{\chi_{\psi}(C_{7a})} + 24\chi_{\varphi}(C_{7b})\cdot \overline{\chi_{\psi}(C_{7b})}$

Les caractères de la table sont bien tous de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Représentation régulière

Article détaillé : Représentation régulière.

La représentation régulière λ de G, sur le K-espace vectoriel K^G des applications de G dans K, est celle issue de l'action à gauche de G sur lui-même par translation. Son caractère χ est :

$\forall s\in G,\qquad\chi(s)=\begin{cases}g\quad\text{si}\quad s=1\\0\quad\text{sinon.}\end{cases}$

Or sous les mêmes hypothèses que précédemment (permettant d'appliquer le théorème de Maschke et le lemme de Schur), on démontre que sa décomposition en somme directe d'irréductibles est :

$(K^G,\lambda)\simeq\bigoplus_{i=1}^hd_i(S_i,\rho_i),\quad\text{avec}\quad d_i=\dim(S_i).$

La décomposition du caractère χ de λ en somme des caractères irréductibles χ₁, ..., χ_h est donc :

$\chi=\sum_{i=1}^hd_i\chi_i.$

Extension

Produit direct et produit tensoriel

Article détaillé : Produit tensoriel et représentations de groupes finis.

En théorie des groupes, la première méthode d'extension est donnée par le produit direct de deux groupes. En termes de représentation, cette extension se traduit par un produit tensoriel de deux représentations de deux groupes.

Une relation analogue existe pour le produit tensoriel de représentations :

• Le caractère du produit tensoriel de deux représentations (V, ρ) et (V',ρ') d'un groupe G est le produit des caractères des deux représentations.

En utilisant les notations précédentes et si (r_ij) (resp. (r'_i'j') est la matrice R_s (resp. R_s') la matrice P_s du produit tensoriel associée est égal à (p_{ij i'j'}) avec p_{ij i'j'} = r_ij.r'_i'j'. Un simple calcul de trace permet de conclure.

• Si χ_σ (resp. χ_α) désigne le caractère de la représentation du carré symétrique (resp. alterné), alors les deux formules suivantes s'appliquent :

$\forall s \in G \quad \chi_{\sigma}(s)=\frac{1}{2}(\chi_{\rho}(s)^2 + \chi_{\rho}(s^2))\quad et \quad \chi_{\alpha}(s)=\frac{1}{2}(\chi_{\rho}(s)^2 - \chi_{\rho}(s^2)) \;$

Les définitions des représentations du carré symétrique et alterné sont données dans l'article détaillé.

Produit semi-direct et représentation induite

Article détaillé : Représentation induite d'un groupe fini.

Une représentation induite est un mode de construction d'une représentation d'un groupe G à l'aide d'un de ses sous-groupes H. Soit (W, θ) une représentation de H, une représentation (V, ρ) est dite induite par celle de (W, θ) si et seulement si les différents sous-espaces ρ_cW où les valeurs de c forment un système de représentants des classes à gauche de G/H, sont, en somme directe, égale à V.

Il existe une unique représentation induite de G par une représentation (W, θ) d'un sous-groupe H. En termes de G-module, la représentation induite s'exprime simplement :

$V\simeq K[G]\otimes_{K[H]}W \;$

La représentation induite correspond, en termes de G-module à une extension des scalaires K[H] à l'anneau K[G] sur le H-module W.

Dans le cas où H est un sous-groupe normal de G, la représentation induite est équivalente à un produit semi-direct.

Il existe un méthode simple pour calculer le produit hermitien du caractère d'une représentation induite : la formule de réciprocité de Frobenius Si ψ désigne le caractère de la représentation θ de H et χ celui d'une représentation de G, si Ind ψ désigne le caractère d'une représentation induite et Res χ le caractère de la restriction de ρ à H, alors :

$<Ind_H^G\,\psi\,|\,\chi>_G=<\psi\,|\,Res_H^G\,\chi>_H \;$

Notes et références

Notes

1. ↑ C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870
2. ↑ (de) F. G. Frobenius, Über Gruppencharaktere, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1896
3. ↑ (de) H. Maschke, « Beweiss des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen… », dans Mathematische Annalen, vol. 52, 1899, p. 363-368 [texte intégral] 
4. ↑ (en) W. Burnside, On the Representation of a Group of Finite Order as an Irreducible Group of Linear Substitutions and the Direct Establishment of the Relations Between the Group-Characteristics, dans Proc. London Math. Soc. s2-1, 1904, 117-123
5. ↑ (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2^e éd., Dover Publications, rééd. de 2004
6. ↑ (de) I. Schur, « Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochenen linearen Substitutionen », dans J. Reine. Angew. Math., vol. 132, 1907, p. 85-137 

Lien externe

• Cours de représentation des groupes finis par Michel Broué de l'université de Paris VII

Références

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
• (en) Marshall Hall, Jr. (en), The theory of groups [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. VIII
• Pierre Colmez, Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École polytechnique