Centre D'un Groupe

Centre d'un groupe

En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres.

Définition

Soit (G, * ) un groupe, noté multiplicativement, de neutre e.

$Z_G = \left\{ z \in G / \forall g \in G, g z = z g \right\}$

Z_G est un sous-groupe de G.

Propriétés

On montre que Z_G est un sous-groupe distingué, abélien.

Exemple

Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire:

$Z_G = G \,$

Application

On considère l'automorphisme intérieur :

$\phi : G \rightarrow Aut(G), \, g \mapsto \phi_g \,$

où $\phi_g \,$ est l'automorphisme défini par:

$\phi _g : G \rightarrow G, h \mapsto g h g^{-1} \,$

On a alors:

$\ker (\phi)=Z_G \,$

$\mbox{Im} \, G= \mbox{Int}(G)$

Le sous-groupe Int(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

$G/Z(G) \cong \mbox{Int}(G) \,$.

Voir aussi

• Centre (algèbre)

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