Champ equiprojectif

Champ équiprojectif

Dans un espace affine euclidien E, un champ de vecteurs $(\overrightarrow{V_P})_{P \in E}$ est équiprojectif si :

$\forall P \in E, \forall Q \in E, (\overrightarrow{V_P} | \overrightarrow{PQ}) = (\overrightarrow{V_Q} | \overrightarrow{PQ})$

où $(\;|\;)$ désigne le produit scalaire.

Il existe alors un endomorphisme antisymétrique u tel que :

$\forall P \in E, \forall Q \in E, \overrightarrow{V_Q} = \overrightarrow{V_P} + u(\overrightarrow{PQ)}$.

Démonstration

Antisymétrie

Soit O un point arbitraire de E. Pour tout vecteur $\overrightarrow{x}$, il existe un unique point P tel que $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP}$ et on définit u par $u(\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{V_P} - \overrightarrow{V_O}$.

Montrons que, pour tous vecteurs $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{y} = \overrightarrow{OQ}$, on a :

$(u(\overrightarrow{x}) | \overrightarrow{y}) = - (\overrightarrow{x} | u(\overrightarrow{y}))$

ce qui prouve l'antisymétrie de u.

On a en effet :

$(u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = (\overrightarrow{V_P} - \overrightarrow{V_O}, \overrightarrow{OQ}) = (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OQ}) - (\overrightarrow{V_O}, \overrightarrow{OQ})$

$= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})$ en utilisant l'équiprojectivité du champ V

$= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})$

$= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{PQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})$

$= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{PQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})$ en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.

Si on échange les rôles de $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{y}$, on obtiendra :

$(\overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y})) = (u(\overrightarrow{y}), \overrightarrow{x}) = (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ}) + (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{QP}) - (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP})$

On obtient bien :

$(u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = - (\overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y}))$

Linéarité

On déduit de l'antisymétrie que u est linéaire. En effet, pour tout $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, λ, on a :

$(u(\lambda \overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = - (\lambda \overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y})) = - \lambda (\overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y})) = \lambda (u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = (\lambda u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y})$

Cette égalité étant vraie pour tout $\overrightarrow{y}$, on en déduit que :

$u(\lambda \overrightarrow{x}) = \lambda u(\overrightarrow{x})$

On procède de même pour montrer que :

$u(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{x'}) = u(\overrightarrow{x})+u(\overrightarrow{x'})$

Cas de la dimension 3, torseur

Dans une base orthonormée directe, u, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique

$\begin{pmatrix}0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \\ \end{pmatrix}$

Si on nomme $\overrightarrow {\Omega}$ le vecteur de composantes $\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}$, alors la matrice précédente est celle de l'application $\overrightarrow x \to \overrightarrow \Omega \wedge \overrightarrow x$.

On a donc $\forall \overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{x}$ et donc

$\overrightarrow{V_Q} = \overrightarrow{V_P} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{PQ}$

$(\overrightarrow{V_P})_{P \in E}$ est le champ des moments d'un torseur de résultante $\overrightarrow{\Omega}$.

Exemple

L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si P et Q sont deux points du solide, et si on note d la distance entre P et Q, on a :

$\| \overrightarrow{PQ}\|^2 = d^2 = (\overrightarrow{PQ} | \overrightarrow{PQ})$

et en dérivant par rapport au temps :

$<\overrightarrow{V_Q} - \overrightarrow{V_P} | \overrightarrow{PQ}> = 0$

où $\overrightarrow{V}$ désigne la vitesse en un point.

Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur $\overrightarrow{\Omega}$ s'appelle vecteur instantané de rotation.

Voir aussi

• Mécanique du solide
• Torseur
• Équiprojectivité en mécanique

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