Classe Suivant Un Sous-groupe

Classe suivant un sous-groupe

En théorie des groupes, les classes d'un groupe G selon un sous-groupe H sont les orbites de l'action de ce sous-groupe H sur G par translation à gauche ou à droite selon l'usage qui en est fait. Il est aussi possible de définir ces classes comme des classes pour une relation d'équivalence. L'ensemble de ces classes est usuellement noté H\G ou G/H. Ces ensembles sont naturellement munis d'une action transitive à droite ou à gauche de G. Ces ensembles servent de modèles pour les espaces homogènes.

L'utilisation des classes intervient notamment dans l'étude des groupes finis, à travers le théorème de Lagrange, les théorèmes de Sylow. Lorsque le sous-groupe est stable par conjugaison (on parle de sous-groupe normal), l'ensemble des classes G/H est naturellement muni d'une structure de groupes, appelée groupe quotient.

En pratique, hors de la théorie proprement dite des groupes, les classes selon les sous-groupes interviennent pour étudier les orbites d'une action de groupe, et définir notamment le type d'une orbite.

Définitions

Ce paragraphe donne uniquement les définitions ensemblistes des classes à gauche et à droite du sous-groupe H de G. La justification de cette définition et les propriétés qui y sont liées font l'objet des paragraphes suivants.

Soit $g \in G$.

On appelle classe à gauche suivant H l'ensemble gH défini par :

$gH=\{g h / h \in H \}$

On appelle classe à droite suivant H l'ensemble Hg défini par :

$Hg=\{ h g / h \in H \}$

Relation d'équivalence

On définit une relation $\mathcal{R}$ dans le groupe G par :

$\forall (x,y)\in G^2, x\mathcal{R} y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H \Leftrightarrow x \in Hy$

Cette relation $\mathcal{R}$ est alors une relation d'équivalence sur G.

Démonstration que $\mathcal{R}$ est bien une relation d'équivalence

$\mathcal{R}$ est réflexive.

$\forall x \in G, x\mathcal{R} x \,$ car :

$x x^{-1}=e \in H \,$

$\mathcal{R}$ est symétrique.

$\forall (x,y) \in G^2, x\mathcal{R} y \Rightarrow y\mathcal{R} x \,$ car :

$xy^{-1} \in H \Rightarrow (xy^{-1})^{-1}=yx^{-1} \in H \,$

R est transitive.

$\forall (x,y,z) \in G^3, (x\mathcal{R} y \mbox{ et } y\mathcal{R} z) \Rightarrow x\mathcal{R} z \,$ car :

$\left( xy^{-1} \in H \mbox{ et } yz^{-1} \in H \right) \Rightarrow xy^{-1}yz^{-1}=xz^{-1} \in H \,$

La relation $\mathcal{R}$ est réflexive, symétrique, et transitive, donc elle définit une relation d'équivalence sur le groupe G.

Il est intéressant de noter que chacune des propriétés de la relation d'équivalence est directement reliée à une propriété de H en tant que sous-groupe.

$\mathcal{R}$ est réflexive car $e \in H$

$\mathcal{R}$ est transitive car H est stable pour la loi de composition.

$\mathcal{R}$ est symétrique car H est stable par inversion.

Classes d'équivalence

La relation $\mathcal{R}$ définie au paragraphe précédent est une relation d'équivalence donc elle donne une partition du groupe G en classes d'équivalence.

Soit $g \in G$. Si on note cl(g) la classe d'équivalence à laquelle appartient g, alors :

$cl(g)=\{x \in G / xg^{-1} \in H\}$

c'est-à-dire :

$cl(g)=\{x \in G / \exists h \in H, \, x=hg \}$

Cet ensemble est généralement noté Hg et appelé classe à droite de H.

On définit de la même façon les classes à gauche de H. Ce sont les ensembles, notés gH, définis par

$gH=\{x \in G /\exists h \in H, \, x=gh\}$

Ces ensembles sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence suivante : $x\mathcal{R}'y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H\Leftrightarrow y \in xH$.

Quelques propriétés

On a gH = H si et seulement si g est un élément de H.

Deux quelconques classes à gauche, ou classes à droite, sont égales ou disjointes.

Si H est un sous-groupe fini, alors toutes ses classes à droite et à gauche ont même nombre d'éléments.

De plus, si G est un groupe fini, alors le nombre de classes à gauche (ou à droite) de H est égal au quotient de l'ordre de G par celui de H.

Le sous-groupe H est dit distingué ou normal ou invariant si et seulement si pour tout g dans G, la classe à gauche gH est égale à la classe à droite Hg.

Références

Ouvrages

Liens internes

• Théorème de Lagrange
• Groupe quotient
• équation aux classes

Notes et références

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