Cocyclique

En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.

Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.

Quatre points cocycliques

Propriété — Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. Alors A, B, C, D sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés de droites

$\left( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB} \right)=\left( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB} \right)\mod \pi$

La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.

Le théorème de Ptolémée donne un condition nécessaire et suffisante de la cocylicité de quatre points par leurs distances.

Théorème de Ptolémée — Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

AB.CD ± AC.DB ± AD.BC = 0.

L'énoncé^[1] donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -.

Voir aussi

• Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre
• Cercle circonscrit

Sources et références

Bibliographie

Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », 2009 (ISBN 9782842250355) 

Notes

1. ↑ Donné sous cette forme par Berger 2009, p. 154