Commande par retour d'état

En automatique, la commande par retour d'état est un moyen d'asservir un système dynamique.

Principe

La commande par retour d'état est une méthode employée en asservissement pour placer les pôles en boucle fermé dans le plan p. L'intérêt de cette technique est que les pôles, correspondant à la valeur propre du système, vont influencer la dynamique du système bouclé.

Avec le système en boucle fermée sous la forme de la représentation d'état,

$\dot{\underline{x}}=\textbf{A}\underline{x}+\textbf{B}\underline{u};$

$\underline{y} = \textbf{C}\underline{x}+\textbf{D}\underline{u}$

alors les pôles du système sont les racines de l'équation :

$\left|p\textbf{I}-\textbf{A}\right|=0.$

La commande par retour d'état s'opère sur le vecteur entrée $\underline{u}$. On a alors une entrée proportionnelle (au sens matriciel) à l'état,

$\underline{u}=-\textbf{K}\underline{x}$.

Ceci replacé dans les équations au-dessus donne,

$\dot{\underline{x}}=(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K})\underline{x};$

$\underline{y} = (\textbf{C}-\textbf{D}\textbf{K})\underline{x}.$

Les racines du système asservi sont données par l'équation, $\det\left[p\textbf{I}-\left(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K}\right)\right]$. Ce terme doit être égalé à celui du polynôme caractéristique de l'asservissement désiré. On obtient alors les valeurs de la matrice de retour $\textbf{K}$ qui va forcer les valeurs propres en boucle fermée à l'endroit spécifié par le polynôme caractéristique de l'asservissement.

Exemple

On considère un système décrit de la façon suivante:

$\dot{\underline{x}}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix}\underline{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}\underline{u}$

En boucle ouverte, le système a pour pôle p = − 1 et p = − 2. On suppose que l'on souhaite que le système asservi ait des valeurs propres localisées à p = − 1 et p = − 5. Le polynôme caractéristique est donc p² + 6p + 5.

En suivant la méthode indiquée précédemment, $\textbf{K}=\begin{bmatrix} k_1 & k_2\end{bmatrix}$, et on a ainsi l'équation

$\left|p\textbf{I}-\left(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K}\right)\right|=det\begin{bmatrix}p& -1 \\ 2+k_1 & p+3+k_2 \end{bmatrix}=p^2+(3+k_2)p+(2+k_1)$.

La résolution donne alors

$\textbf{K}=\begin{bmatrix}3 & 3\end{bmatrix}$.

Donc, fixer $\underline{u}=-\textbf{K}\underline{x}$ va positionner les pôles en boucle fermée à l'endroit désiré, donnant au système de commande les performances voulues.

Remarques

Ceci fonctionne uniquement pour les systèmes à une entrée car les systèmes à plusieurs entrées n'ont pas une matrice K unique. le choix des meilleurs valeurs de K n'est pas trivial. On peut alors utiliser la régulation linéaire quadratique.

Annexes

Notes et références

Articles connexes

Liens et documents externes

• (en) Eduardo Sontag, Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition, New York, Springer, 1998, 2^e éd., relié (ISBN 978-0-387-98489-6) (LCCN 98013182)