Complement orthogonal

Complément orthogonal

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le complément orthogonal $W^\bot$ d'un sous-espace vectoriel W d'un espace préhilbertien V est l'ensemble des vecteurs de V qui sont orthogonaux à tout vecteur de W, c'est-à-dire

$W^\bot=\left\{\,x\in V : \forall y\in W\ \langle x \mid y \rangle = 0 \, \right\}.\,$

Le complément orthogonal est toujours fermé. Pour un Espace de Hilbert, le complément orthogonal du complément orthogonal de W est l'adhérence de W, soit

$W^{\bot\,\bot}=\overline{W}.\,$

Espace de Banach

Il existe un analogue similaire à cette notion pour des Espaces de Banach quelconques. On peut alors définir le complément orthogonal de W comme étant un sous-espace du dual de V défini par

$W^\bot = \left\{\,x\in V^* : \forall y\in W\ x(y) = 0 \, \right\}.\,$

Il s'agit toujours d'un sous-espace fermé de V ^* . Il existe aussi une propriété analogue au double complément. $W^{\bot\,\bot}$ est alors un sous-espace de ${V^*}^*$ (qui n'est pas identiquement égal à V). Cependant, the l'espace réflexif possède une isomorphisme naturel i entre V et ${{V^*}^*}$. Dans ce cas, on a:

$i\overline{W} = W^{\bot\,\bot}.$

Il s'agit en outre d'une conséquence du Théorème de Hahn-Banach.

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