Complétion du carré

La méthode de complétion du carré, en mathématiques, sert à résoudre une équation du second degré de la forme x² + bx + c = 0 ou à factoriser une telle fonction. L'idée est de trouver un carré sous forme d'identité remarquable, dont on peut extraire la racine carrée.

Méthode

Lorsqu'on a une équation de la forme x² + bx + c = 0 on ajoute (b / 2)² − c de chaque côté de l'équation. Ce qui donne

x² + bx + (b / 2)² = (b / 2)² − c,

d'où (x + (b / 2))² = (b / 2)² − c

et donc $x = - b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - c}$.

Exemple

Soit x² − 6x + 5 = 0 l'équation à résoudre. On ajoute ( − 6 / 2)² − 5 = 9 − 5 de chaque côté .

On obtient x² − 6x + 5 + 9 − 5 = 9 − 5,

qui se simplifie en x² − 6x + 9 = 4,

puis en (x − 3)² = 4

et enfin $x - 3 = \pm \sqrt{4}$.

D'où les solutions 1 et 5.

Extension

Pour appliquer cette méthode à une équation de la forme ax² + bx + c = 0 il faut commencer par diviser les deux membres par a pour se ramener à x² + (b / a)x + c / a = 0.

On retrouve alors la formule de Viète : $x = - b/2a \pm \sqrt{(b/2a)^2 - c/a}$

ou sous une forme plus habituelle : $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Cette formule est aussi appelée formule quadratique. On l'utilise pour trouver les zéros d'une parabole.