Conchoide

Conchoïde

Une conchoïde est une courbe obtenue à partir d'un point fixe O, d'une autre courbe, et d'une distance d. Pour chaque droite passant par O qui coupe la courbe donnée en un point P, on trace les points N et Q de la droite situés à une distance d de P. La conchoïde est le lieu géométrique des points N et Q lorsque P parcourt la courbe donnée.

En coordonnées polaires de pôle O, si la courbe donnée a pour équation polaire r = α(θ) alors la conchoïde aura pour équation $r = \alpha(\theta) \pm d$.

La conchoïde la plus simple est la conchoïde de droite, inventée par Nicomède, mathématicien grec du IIe siècle avant J.-C.. Il fut le premier a réaliser une construction mécanique d'une courbe plane (autre que le cercle).

C'est la courbe d'équation polaire $\rho = \frac a {cos \theta } + d$, où a est la distance du pôle à la directrice (a = OH).

Les conchoïdes de Nicomède sont des trisectrices (et des duplicatrices).

Pour cela, construire un triangle oHI rectangle en H, tel que l'angle φ à trisecter soit oIH.

Construire la conchoïde de la droite (IH) de pôle o et de module oI ;
On a : a = oH et $d = oI = \frac a {cos \phi }$ ; la conchoïde a pour équation $\rho = \frac a {cos \theta } + \rho \frac a {cos \phi }$.

À chaque angle φ à trisecter, correspond une conchoïde différente.

L'intersection de la courbe avec le cercle de centre I passant par o permet de déterminer deux points M et N, et grâce aux propriétés fondamentales de la conchoïde, on montre que l'angle NÎP trisecte l'angle OÎH.

Pour le point I, situé sur la directrice, les deux points de la conchoïde situés sur la droite (oI), à une distance d de I sont le point o et un point M symétrique de o par rapport à I. Le cercle de centre I et de rayon oI passe par le pôle o, coupe la conchoïde en M. Ce cercle coupe la conchoïde en un troisième point N dont la construction est approchée : la droite (ON) coupe la directrice en P tel que NP = d.

L'angle trisecté est oPH, car le triangle INP est isocèle avec oPH = NIP = α ;
les angles aigus du triangle isocèle IoN sont égaux à 2α ;
Les angles alternes-internes yoP et oPH sont égaux à α ;
Les angles alternes-internes yoI et oIH sont égaux à 3α et φ = 3α.

L'angle NÎP est le tiers de l'angle OÎH.

Construction de la tangente et de la normale

Voir : La Géométrie de René Descartes.

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