Conjecture d'Agoh-Giuga

En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli $B_k\,$ énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :

$pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p\,.$

(La notation $a \equiv b \pmod{p}\,$ signifie que p divise le numérateur de a − b mais pas le dénominateur de a − b.)

La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le Théorème de von Staudt-Clausen, que $pB_{2m} \equiv -1 \pmod p\,$ pour tout nombre premier p tel que p − 1 divise 2m et que $2B_{1} \equiv -1 \pmod 2\,$.

La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :

$1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p\qquad(1)$.

Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh^[1].

Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1^e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Par ailleurs, il est montré que tout nombre composé vérifiant la congruence (1) est un nombre de Carmichaël^[2].

Notes et références

Notes

1. ↑ Proposition 5 de l'article d'Agoh.
2. ↑ Proposition 4 de l'article d'Agoh.

Références

• (en) T. Agoh, « On Giuga’s conjecture » dans Manuscripta Math. 87(4) (1995), 501-10.
• (it) G. Giuga,« Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi » dans I° Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83 (1950), 511-528.